第10講 数列の極限
実数列の極限
実数体 $\mathbf{R}$ は順序体であるから，実数列の収束は順序体における点列の収束(
第2講)として考えればよい．すなわち，実数列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ がある実数 $x$ に
収束するとは
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N\in \mathbf{N},\ n\ge N\ \Rightarrow\ |x_n-x| < \varepsilon$
が成り立つことをいい，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=x$ と表す．この $x$ を $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ の
極限値と呼ぶ．
$(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ がいかなる実数にも収束しないことを
発散するというが，特に，$(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が
正の無限大に発散するとは
$\forall R > 0,\ \exists N\in \mathbf{N},\ n\ge N\ \Rightarrow\ x_n > R$
が成り立つことをいい，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=\infty$ と表す．
同様に，
$(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が
負の無限大に発散するとは
$\forall R > 0,\ \exists N\in \mathbf{N},\ n\ge N\ \Rightarrow\ x_n < -R$
が成り立つことをいい，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=-\infty$ と表す．
これら以外の場合，すなわち，発散するが正の無限大にも負の無限大にも発散しないことを
振動すると言うこともある．
ある実数に収束するかまたは正(負)の無限大に発散することを，すなわち，以下のいずれかが成り立つことを
極限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n$ が存在する と言うことがある：
$\displaystyle \exists x\in\mathbf{R},\ \lim_{n\to\infty}x_n=x$
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=\infty$
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=-\infty$
微妙な違いだが，「極限値が存在する」と言うときは「ある実数に収束する」と解釈される．
上極限と下極限
実数列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ の
上極限 $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n$ および
下極限 $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n$ はそれぞれ
$\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n\stackrel{\mathrm{def}}{=}\lim_{N\to\infty}\sup_{n\ge N}x_n$
$\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n\stackrel{\mathrm{def}}{=}\lim_{N\to\infty}\inf_{n\ge N}x_n$
により定義される．
$\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n$ のことを
$\displaystyle \varlimsup_{n\to\infty}x_n$，
$\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n$ のことを
$\displaystyle \varliminf_{n\to\infty}x_n$
と書くことも多い．
-
実数列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が有界，すなわち $|x_n|\le M,\ \forall n\in\mathbf{N}$ となる $M\ge 0$ が存在するならば，上極限および下極限は必ず実数値として存在し
$\displaystyle -M\le\liminf_{n\to\infty}x_n\le \limsup_{n\to\infty}x_n\le M$
が成り立つ
詳しく！．
$M$，$-M$ はそれぞれ $(x_n)_{n\ge \mathbf{N}}$ の上界，下界であるから，任意の $N\in\mathbf{N}$ に対して，上限性質(下限性質)により $\displaystyle \sup_{n\ge N}x_n$，$\displaystyle \inf_{n\ge N}x_n$ が存在し
$\displaystyle -M\le \inf_{n\ge N}x_n\le \sup_{n\ge N}x_n\le M\hspace{50pt}(*)$
が成り立つ．また，$N \le N'$ ならば
$\displaystyle \inf_{n\ge N}x_n\le\inf_{n\ge N'}x_n$，
$\displaystyle \sup_{n\ge N}x_n\ge\sup_{n\ge N'}x_n$
となることは明らかであろう．
従って実数列 $\displaystyle \big(\sup_{n\ge N}x_n\big)_{N\in\mathbf{N}}$ は下に有界な単調減少列，実数列 $\big(\displaystyle \inf_{n\ge N}x_n\big)_{N\in\mathbf{N}}$ は上に有界な単調増加列であり，再び上限性質(下限性質)によりそれぞれある実数に収束する．よって，$(*)$ で $N\to\infty$ として
$\displaystyle -M\le \liminf_{n\to\infty}x_n\le \limsup_{n\to\infty}x_n\le M$
を得る．
-
実数列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が有界でない場合，例えば上に有界でない場合はそもそも $\displaystyle \sup_{n\ge N}x_n$ が存在しないが，その場合は $\displaystyle \sup_{n\ge N}x_n=\infty,\ \forall N\in\mathbf{N}$ と解釈して
$\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n=\infty$
と定める．同様に，下に有界でない場合は
$\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n=-\infty$
と定める．
-
実数列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ を $x_n=(-1)^n$ により定めると，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n$ は存在しないが，任意の $N\in\mathbf{N}$ に対して $\displaystyle \sup_{n\ge N}(-1)^n=1$，$\displaystyle \inf_{n\ge N}(-1)^n=-1$ ゆえ
$\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n=1$，$\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n=-1$
である．
-
実数列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ を $x_n=n\{1+(-1)^n\}$ により定めると，これは上に有界ではないので
$\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n=\infty$
また，$n$ が奇数ならば $x_n=0$ ゆえ，任意の $N\in\mathbf{N}$ に対して $\displaystyle \inf_{n\ge N}x_n=0$，従って
$\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n=0$
である．
次の事実は実数列の極限を調べる上で有用である：
実数列 $(x_n)_{n\in\mathbf{R}}$ について，以下が成り立つ：
-
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=x\in\mathbf{R}\ \Leftrightarrow\
\limsup_{n\to\infty}x_n=\liminf_{n\to\infty}x_n=x\in\mathbf{R}$
-
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=\infty\ \Leftrightarrow\
\liminf_{n\to\infty}x_n=\infty$
-
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=-\infty\ \Leftrightarrow\
\limsup_{n\to\infty}x_n=-\infty$
-
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=x\in\mathbf{R}$ とすると，任意に与えられた $\varepsilon > 0$ に対して
$n\ge N_0\ \Rightarrow\ x-\varepsilon < x_n < x+\varepsilon$
となる $N_0\in\mathbf{N}$ がとれる．このとき，$N\ge N_0$ ならば
$\displaystyle x-\varepsilon\le\inf_{n\ge N}x_n\le\sup_{n\ge N}x_n\le x+\varepsilon$
が成り立っているので，$N\to\infty$ として
$\displaystyle x-\varepsilon\le\liminf_{n\to\infty}x_n\le\limsup_{n\to\infty}x_n\le x+\varepsilon$
$\varepsilon > 0$ は任意だから
$\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n=\liminf_{n\to\infty}x_n=x$
である．逆に，
$\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n=\liminf_{n\to\infty}x_n=x\in\mathbf{R}$ とすると，任意に与えられた $\varepsilon > 0$ に対して
$\displaystyle x-\varepsilon < \inf_{n\ge N}x_n\le\sup_{n\ge N}x_n < x+\varepsilon$
を満たす $N\in\mathbf{N}$ がとれる．このとき
$n\ge N\ \Rightarrow\ x-\varepsilon < x_n < x+\varepsilon$
が成り立っているが，これは $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=x$ を意味する．
-
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=\infty$ とすると，任意に与えられた $M > 0$ に対して
$n\ge N_0\ \Rightarrow\ M\le x_n$
となる $N_0\in\mathbf{N}$ がとれる．このとき，$N\ge N_0$ ならば
$\displaystyle M\le \inf_{n\ge N}x_n$
が成り立っているので，$N\to\infty$ として
$\displaystyle M\le \liminf_{n\to\infty}x_n$
$M > 0$ は任意だから
$\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n=\infty$
である．逆に，
$\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n=\infty$ とすると，任意に与えられた $M > 0$ に対して
$\displaystyle M \le \inf_{n\ge N}x_n$
を満たす $N\in\mathbf{N}$ がとれる．このとき
$n\ge N\ \Rightarrow\ M\le x_n$
が成り立っているが，これは $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=\infty$ を意味する．
-
上と同様に示せるが，
$\displaystyle \liminf_{n\to\infty}(-x_n)=-\limsup_{n\to\infty}x_n$ (補充問題1)より
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=-\infty\ \Leftrightarrow\ \lim_{n\to\infty}(-x_n)=\infty\\
\hspace{66pt}\displaystyle \Leftrightarrow\ \liminf_{n\to\infty}(-x_n)=\infty\\ \hspace{66pt}\displaystyle \Leftrightarrow\ \limsup_{n\to\infty}x_n=-\infty$
としてもよい．
例えば，極限の存在が不明な実数列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ について，任意に与えられた $\varepsilon > 0$ 対して，$n$ が十分大きいときは
$0\le x_n \le \varepsilon+\dfrac{1}{n}$
が成り立つことがわかったとしよう．この式で $n\to\infty$ として
$\displaystyle 0\le \lim_{n\to\infty}x_n \le \varepsilon$
$\varepsilon > 0$ は任意だから $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=0$ ．．．と言いたいが，極限の存在が不明な段階で「$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n$」と書いてしまうのは具合が悪い．そこで，上極限・下極限は必ず存在するので
$0\le x_n \le \varepsilon+\dfrac{1}{n}$
から
$\displaystyle 0\le \liminf_{n\to\infty}x_n\le \limsup_{n\to\infty}x_n \le \varepsilon$
が成り立ち，$\varepsilon > 0$ は任意だから
$\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n=\limsup_{n\to\infty}x_n=0$
従って $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=0$，というようにすればよい．
複素数列の極限
複素数 $z=x+yi,\ x,y\in\mathbf{R}$ の絶対値は
$|z|\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sqrt{x^2+y^2}$
により定義されるのであった．
特に $y=0$ のとき，すなわち実数 $x$ の絶対値は
$|x|=\sqrt{x^2}=\left\{\begin{array}{ll}x&\mbox{if $x\ge 0$}\\-x&\mbox{if $x < 0$}\end{array}\right.$
となり，順序体としての $\mathbf{R}$ における絶対値の定義と一致することに注意．
複素数列 $(z_n)_{n\in\mathbf{N}}$ がある複素数 $z$ に
収束するとは，実数列 $(|z-z_n|)_{n\in\mathbf{N}}$ が $0$ に収束することをいい，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}z_n=z$ と表す：
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}z_n=z\ \stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}\ \lim_{n\to\infty}|z-z_n|=0$
すなわち，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}z_n=z$ を論理記号を用いて表すと
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N\in \mathbf{N},\ n\ge N\ \Rightarrow\ |z-z_n| < \varepsilon$
となる．
複素数列 $(z_n)_{n\in\mathbf{N}}$ がいかなる複素数にも収束しないときは単に
発散するといわれるが，$\mathbf{C}$ には通常順序(大小関係)を考えないので
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}z_n=\infty$，
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}z_n=-\infty$
ということは定義されない
本当に？．
というのは嘘で，実は，
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}|z_n|=\infty$，すなわち
$\forall M > 0,\ \exists N\in \mathbf{N},\ n\ge N\ \Rightarrow\ |z_n| > M$
であることを
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}z_n=\infty$
と表記し，$z_n$ は「無限遠点 $\infty$ に
収束する」ということがある($\displaystyle \lim_{n\to\infty}z_n=-\infty$ は定義されない)．その文脈では，例えば
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(-2)^n=\infty$
などが成り立つことになるが，混乱を生じるのでこの講座ではそういったことを念頭に置く必要はない．
しかしながら，一般論として，数列(点列)の極限を考えるときには，その意味(定義)をはっきりと確認しておくことは重要である．例えば，文脈によっては
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(-2)^n=0$
が成り立つこともある．この講座の中で言えば，必ずしも「距離」が定義されていない順序集合において点列の「収束」とはどのような意味であったかを改めて振り返ってみられたい(
第5講および
補充問題12参照)．
-
$z$ を $|z| < 1$ なる複素数とするとき，実等比数列の場合と同様に
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}z^n=0$
が成り立つ．$|z^n|=|z|^n$ であり，実数列 $(|z|^n)_{n\in\mathbf{N}}$ が $0$ に収束することから明らかであろう．
例えば，
$\displaystyle \Big|\dfrac{1+i}{2}\Big|=\dfrac{1}{\sqrt{2}} < 1$
ゆえ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\Big(\dfrac{1+i}{2}\Big)^n=0$
が成り立つ．
-
$|z| \ge 1$ の場合は $z=1$ でない限り $z^n$ は(少なくとも複素数には)収束しない．
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}z^n=\alpha\in\mathbf{C}$ とすると
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}|z|^n=|\alpha|\in\mathbf{R}$ でなければならないから，$|z| > 1$ の場合はこれは不可能だとすぐにわかるが，$|z|=1,\ z\neq 1$ のときに $z^n$ が収束しないことはそれほど明らかではなく，この講座における我々にはまだ準備が足りないので他の機会に譲る．
-
次のような計算は実数列の極限と同じ感覚で行ってよい．
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{(1+i)n+2i}{(2-i)n+3i}=\dfrac{1+i}{2-i}=\dfrac{1+3i}{5}$
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{n^2}{(2-i)^n}=0$
つまり，$i$ が実定数であるかのように扱ってもそれほど間違えないと思うが，例えば第二の計算では $|2-i|=\sqrt{5} > 1$ など，絶対値は常に意識しておこう．
$\mathbf{C}$ の完備性
$\mathbf{C}$ は順序体ではないが，絶対値による「距離」が定義されているので，$\mathbf{Q}$ や $\mathbf{R}$ と同様にCauchy列を考えることができる．すなわち，複素数列 $(z_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が
Cauchy列であるとは
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N\in \mathbf{N},\ m,n\ge N\ \Rightarrow\ |z_m-z_n| < \varepsilon$
が成り立つことをいう．次の事実を確認しておこう：
$\mathbf{C}$ は距離空間として完備である．すなわち，任意の複素Cauchy列はある複素数に収束する．
複素数列 $(z_n)_{\in\mathbf{N}}=(x_n+y_ni)_{\in\mathbf{N}}$ がCauchy列ならば，$z_n=x_n+y_ni$ と表したとき，実数列 $(x_n)_{\in\mathbf{N}}$，$(y_n)_{\in\mathbf{N}}$ はともにCauchy列である(
補充問題7)．よって，$\mathbf{R}$ の完備性により
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=x$
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}y_n=y$
となる $x,y\in\mathbf{R}$ が存在する．このときもちろん $x+yi\in\mathbf{C}$ であって
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(x_n+y_ni)=x+yi$
が成り立つ(
補充問題7)．