補充問題

1. 実数列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ について，以下が成り立つことを示せ．
   1. $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}(-x_n)=-\liminf_{n\to\infty}x_n$
   2. $\displaystyle \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\limsup_{n\to\infty}x_n$ ( $\displaystyle \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\liminf_{n\to\infty}x_n$ ) となる部分列 $(x_{n_k})_{k\in\mathbf{N}}$ が存在する．
   3. $\displaystyle \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=x$ となる部分列 $(x_{n_k})_{k\in\mathbf{N}}$ が存在するならば
      $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n\ge x$，$\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n\le x$
      である．
   4. $\displaystyle \lim_{m\to\infty}x_{2m}=p$ ，$\displaystyle \lim_{m\to\infty}x_{2m+1}=q$ ならば
      $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n=\max\{\,p,q\,\}$， $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n=\min\{\,p,q\,\}$
      である．
   解答
   1. $\displaystyle s=\sup_{n\ge N}(-x_n)$ とおくと，上限の定義より
      「$\forall n\ge N,\ -x_n\le s$」かつ 「$\forall\varepsilon > 0,\ \exists n\ge N,\ -x_n < s-\varepsilon$」
      が成り立つが，これは
      「$\forall n\ge N,\ x_n\ge -s$」 かつ 「$\forall\varepsilon > 0,\ \exists n\ge N,\ x_n < -s+\varepsilon$」
      と書き直すと，$\displaystyle \inf_{n\ge N}x_n=-s$ を意味するので
      $\displaystyle \inf_{n\ge N}x_n=-\sup_{n\ge N}(-x_n)$
      で $N\to\infty$ として $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n=-\limsup_{n\to\infty}(-x_n)$ が得られる．
   2. $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n=x\in\mathbf{R}$ とすると，各 $k\in\mathbf{N}$ に対して
      $\displaystyle \sup_{n\ge N_k}x_n \in \Big(x-\dfrac{1}{k},x+\dfrac{1}{k}\Big)$
      となる $N_k$ がとれ，このとき $x_{n_k}\in\Big(x-\dfrac{1}{k},x+\dfrac{1}{k}\Big)$ となる $n_k\ge N_k$ が存在する． こうして部分列 $(x_{n_k})_{k\in\mathbf{N}}$ が得られるが
      $\forall k\in\mathbf{N},\ x-\dfrac{1}{k} < x_{n_k} < x+\dfrac{1}{k}$
      ゆえ $\displaystyle \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=x$ を満たす．
      $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n=\infty$ とすると，これは $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が上に有界ではないということだから，各 $k\in\mathbf{N}$ に対して $x_{n_k}\ge k$ となる $n_k\in\mathbf{N}$ が存在し，こうして得られた部分列 $(x_{n_k})_{k\in\mathbf{N}}$ は $\displaystyle \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\infty$ を満たす．
      $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n=-\infty$ とすると，これは $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=-\infty$ ということだから主張は明らかである．
      $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n$ についても同様．
   3. $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n < x\in\mathbf{R}$ とし，$\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n < x' < x$ なる $x'\in\mathbf{R}$ をとると
      $\displaystyle \sup_{n\ge N}\sup{x_n} < x'$
      となる $N\in\mathbf{N}$ がとれる．このとき
      $\displaystyle n\ge N\ \Rightarrow\ x_n < x' < x$
      となっており，$x$ に収束する部分列は存在しない．
      $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n$ についても同様．
      $x=\pm\infty$ のときは主張は自明に成り立っているものと解釈できる．
   4. $p\in\mathbf{R}$，$p > q$ とする． $\displaystyle \lim_{m\to\infty}x_{2m}=p$ と iii. により $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n\ge p$ である．もし $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n > p$ であったとすると， $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n > p' > p$ なる $p'$ をとったとき，$\displaystyle \lim_{m\to\infty}x_{2m}=p < p'$，$\displaystyle \lim_{m\to\infty}x_{2m+1}=q < p'$ により
      $m\ge M_0 \ \Rightarrow\ x_{2m},x_{2m+1} < p'$
      となる $M_0\in\mathbf{N}$ がとれる．このとき，$N\ge 2M_0$ ならば
      $\displaystyle \sup_{n\ge N}x_n\le \sup_{n\ge 2M_0}x_n\le p'$
      となっており，$N\to\infty$ として $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n\le p'$，これは矛盾である．
      $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n$ について，および $p < q$ の場合も同様．
      $p=\pm\infty$ あるいは $q=\pm\infty$ のときは主張は自明に成り立っているものと解釈できる．

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2. 実数列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$，$(y_n)_{n\in\mathbf{N}}$ について，以下が成り立つことを示せ．i. については等号が成立しない例を挙げよ．
   1. $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}(x_n+y_n)\le\limsup_{n\to\infty}{x_n}+\limsup_{n\to\infty}{y_n}$
      $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}{x_n}+\liminf_{n\to\infty}{y_n}\le \liminf_{n\to\infty}(x_n+y_n)$
   2. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=x\in\mathbf{R}$ ならば
      $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}(x_n+y_n)=x+\limsup_{n\to\infty}y_n$
      $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}(x_n+y_n)=x+\liminf_{n\to\infty}y_n$
   3. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(x_n-y_n)=0$ または $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{x_n}{y_n}=1$ ならば
      $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n=\limsup_{n\to\infty}y_n$
      $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n=\liminf_{n\to\infty}y_n$
   解答
   1. 任意の$N\in\mathbf{N}$ に対して，$n\ge N$ ならば
      $\displaystyle \inf_{n\ge N}x_n+\inf_{n\ge N}y_n\le x_n+y_n\le \sup_{n\ge N}x_n+\sup_{n\ge N}y_n$
      ゆえ
      $\displaystyle \inf_{n\ge N}x_n+\inf_{n\ge N}y_n\le \inf_{n\ge N}(x_n+y_n) \le \sup_{n\ge N}(x_n+y_n)\le \sup_{n\ge N}x_n+\sup_{n\ge N}y_n$
      よって $N\to\infty$ として
      $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}(x_n+y_n)\le\limsup_{n\to\infty}{x_n}+\limsup_{n\to\infty}{y_n}$
      $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}{x_n}+\liminf_{n\to\infty}{y_n}\le \liminf_{n\to\infty}(x_n+y_n)$
      を得る．等号が成立しない例は，例えば
      $x_n=1+(-1)^n$，$y_n=1-(-1)^n$
      とすれば
      $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n+\limsup_{n\to\infty}y_n=2+2=4$
      $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n+\liminf_{n\to\infty}y_n=0+0=0$
      だが，$x_n+y_n=2\ (\forall n\in\mathbf{N})$ なので
      $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}(x_n+y_n)=\liminf_{n\to\infty}(x_n+y_n)=2$
      である．
   2. 任意の $\varepsilon > 0$ に対して
      $n\ge N_0\ \Rightarrow\ |x_n-x| < \varepsilon$
      となる $N_0\in\mathbf{N}$ がとれるが，このとき
      $n\ge N_0\ \Rightarrow\ x-\varepsilon+y_n < x_n+y_n < x+\varepsilon+y_n$
      ゆえ，$N\ge N_0$ ならば
      $\displaystyle x-\varepsilon+\sup_{n\ge N}y_n\le\sup_{n\ge N}(x_n+y_n)\le x+\varepsilon+\sup_{n\ge N}y_n$
      $\displaystyle x-\varepsilon+\inf_{n\ge N}y_n\le\inf_{n\ge N}(x_n+y_n)\le x+\varepsilon+\inf_{n\ge N}y_n$
      が成り立つ．$N\to\infty$ として
      $\displaystyle x-\varepsilon+\limsup_{n\to\infty}y_n\le\limsup_{n\to\infty}(x_n+y_n)\le x+\varepsilon+\limsup_{n\to\infty}y_n$
      $\displaystyle x-\varepsilon+\liminf_{n\to\infty}y_n\le\liminf_{n\to\infty}(x_n+y_n)\le x+\varepsilon+\liminf_{n\to\infty}y_n$
      $\varepsilon > 0$ は任意なので
      $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}(x_n+y_n)= x+\limsup_{n\to\infty}y_n$
      $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}(x_n+y_n)= x+\liminf_{n\to\infty}y_n$
      である．
   3. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(x_n-y_n)=0$ ならば，ii により
      $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n=\limsup_{n\to\infty}(x_n-y_n+y_n)=\limsup_{n\to\infty}y_n$
      $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n=\liminf_{n\to\infty}(x_n-y_n+y_n)=\liminf_{n\to\infty}y_n$
      $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{x_n}{y_n}=1$ とする．このとき
      $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n=\infty\ \Leftrightarrow\ \limsup_{n\to\infty}y_n=\infty$
      $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n=-\infty\ \Leftrightarrow\ \limsup_{n\to\infty}y_n=-\infty$
      が成り立つことは容易にわかるから， $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n=x\in\mathbf{R}$， $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}y_n=y\in\mathbf{R}$ の場合を示す．
      $x > y$ ならば， $\displaystyle \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=x$ となる部分列 $(x_{n_k})_{k\in\mathbf{N}}$ をとると，$\displaystyle \lim_{k\to\infty}\dfrac{x_{n_k}}{y_{n_k}}=1$ ゆえ $\displaystyle \lim_{k\to\infty}y_{n_k}=x$ であるから，1.iii. より $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}y_n\ge x > y$ となり矛盾．
      $x < y$ ならば， $\displaystyle \lim_{k\to\infty}y_{n_k}=y$ となる部分列 $(y_{n_k})_{k\in\mathbf{N}}$ をとると，同様に $\displaystyle \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=y$ から $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n\ge y > x$ となりやはり矛盾．
      従って $x=y$ である．
      $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n=\liminf_{n\to\infty}y_n$ も同様．

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3. 次の実数列の上極限および下極限を求めよ．ただし，$\lfloor\,x\,\rfloor$ は $x$ を超えない最大の整数を表す．
   1. $a_n=(-1)^n+\dfrac{1}{n}$
   2. $b_n=\dfrac{(-2)^{n+1}+1}{2^n+1}$
   3. $c_n=4\Big\lfloor\dfrac{n}{4}\Big\rfloor-3\Big\lfloor\dfrac{n}{3}\Big\rfloor$
   4. $d_n=\sqrt{n^2+100}-3\Big\lfloor\dfrac{\sqrt{n^2+100}}{3}\Big\rfloor$
   解答
   1. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$ ゆえ，2.ii. より
      $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}a_n=\limsup_{n\to\infty}(-1)^n=1$
      $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}a_n=\liminf_{n\to\infty}(-1)^n=-1$
   2. $\displaystyle \lim_{m\to\infty}b_{2m}=\lim_{m\to\infty}\dfrac{-2^{2m+1}+1}{2^{2m}+1}=-2$， $\displaystyle \lim_{m\to\infty}b_{2m+1}=\lim_{m\to\infty}\dfrac{2^{2m+2}+1}{2^{2m+1}+1}=2$ ゆえ，1.iv. より
      $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}b_n=2$， $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}b_n=-2$
   3. 一般に $x-1 < \lfloor x\rfloor \le x\ (x\in\mathbf{R})$ が成り立つから
      $n-4 < 4\Big\lfloor\dfrac{n}{4}\Big\rfloor\le n$， $n-3 < 3\Big\lfloor\dfrac{n}{3}\Big\rfloor\le n$
      より
      $-4 < c_n < 3$　すなわち　$-3\le c_n \le2$
      よって
      $\displaystyle -3\le\liminf_{n\to\infty}c_n\le\limsup_{n\to\infty}c_n\le2$
      また
      $\displaystyle \lim_{m\to\infty}c_{12m+3} =\lim_{m\to\infty}\left\{4\Big\lfloor\dfrac{12m+3}{4}\Big\rfloor-3\Big\lfloor\dfrac{12m+3}{3}\Big\rfloor\right\}\\ \hspace{53pt}\displaystyle =\lim_{m\to\infty}\{4\cdot3m-3\cdot(4m+1)\}=-3$
      $\displaystyle \lim_{m\to\infty}c_{12m+8} =\lim_{m\to\infty}\left\{4\Big\lfloor\dfrac{12m+8}{4}\Big\rfloor-3\Big\lfloor\dfrac{12m+8}{3}\Big\rfloor\right\}\\ \hspace{55pt}\displaystyle =\lim_{m\to\infty}\{4\cdot(3m+2)-3\cdot(4m+2)\}=2$
      であるから，1.iii. より $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}c_n\ge2$，$\displaystyle \liminf_{n\to\infty}c_n\le-3$．従って
      $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}c_n=2$， $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}c_n=-3$
   4. $\dfrac{\sqrt{n^2+100}}{3}-\dfrac{n}{3}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{100}{\sqrt{n^2+100}+n}$ より，$\dfrac{100}{\sqrt{n^2+100}+n} < 1$ ならば
      $\Big\lfloor\dfrac{\sqrt{n^2+100}}{3}\Big\rfloor =\Big\lfloor\dfrac{n}{3}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{100}{\sqrt{n^2+100}+n}\Big\rfloor =\Big\lfloor\dfrac{n}{3}\Big\rfloor$
      である．そこで
      $\tilde{d}_n=n-3\Big\lfloor\dfrac{n}{3}\Big\rfloor$
      とおけば
      $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(d_n-\tilde{d}_n) =\lim_{n\to\infty}(n-\sqrt{n^2+100})\\ \hspace{62pt}\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\dfrac{-100}{n+\sqrt{n^2+100}}=0$
      であって
      $\tilde{d}_n=\left\{\begin{array}{ll}0&(n=3m)\\1&(n=3m+1)\\2&(n=3m+2)\end{array}\right.\quad m=0,1,2,\ldots$
      であるから，2.iii. より
      $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}d_n=\limsup_{n\to\infty}\tilde{d}_n=2$
      $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}d_n=\liminf_{n\to\infty}\tilde{d}_n=0$

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4. 複素数列 $(z_n)_{n\in\mathbf{N}}$ について
   1. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{z_{n+1}}{z_n}\right|$ が存在するならば，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|z_n|}$ も存在して両者は一致することを示せ．
   2. 上記の逆は成り立たない．すなわち，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|z_n|}$ が存在して $\forall n\in\mathbf{N},\ z_n\neq0$ であっても $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{z_{n+1}}{z_n}\right|$ が存在するとは限らない．そのような例を挙げよ．
   解答
   1. • $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{z_{n+1}}{z_n}\right|=l\in (0,\infty)$ とすると，任意の $\varepsilon \in(0,l)$ に対して
        $n\ge N\ \Rightarrow\ l-\varepsilon < \left|\dfrac{z_{n+1}}{z_n}\right| < l+\varepsilon$
        となる $N\in\mathbf{N}$ がとれる．このとき，$n\ge N$ ならば
        $\sqrt[n]{|z_n|}=\sqrt[n]{\,\left|\dfrac{z_n}{z_{n-1}}\right|\left|\dfrac{z_{n-1}}{z_{n-2}}\right|\cdots\left|\dfrac{z_{N+1}}{z_N}\right|\,}\cdot\sqrt[n]{|z_N|}$
        から
        $\sqrt[n]{(l-\varepsilon)^{n-N}}\cdot\sqrt[n]{|z_N|} < \sqrt[n]{|z_n|} < \sqrt[n]{(l+\varepsilon)^{n-N}}\cdot\sqrt[n]{|z_N|}$
        従って
        $(l-\varepsilon)\cdot\sqrt[n]{\dfrac{|z_N|}{(l-\varepsilon)^N}} < \sqrt[n]{|z_n|} < (l+\varepsilon)\cdot\sqrt[n]{\dfrac{|z_N|}{(l+\varepsilon)^N}}$
        が得られる．ここで $n\to\infty$ とすると
        $\displaystyle l-\varepsilon \le \liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{|z_n|} \le \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|z_n|} \le l+\varepsilon$
        $\varepsilon \in(0,l)$ は任意ゆえ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|z_n|} = l$ である．
      • $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{z_{n+1}}{z_n}\right|=\infty$ とすると，任意の $M > 0$ に対して
        $n\ge N\ \Rightarrow\ \left|\dfrac{z_{n+1}}{z_n}\right| > M$
        となる $N\in\mathbf{N}$ がとれる．このとき，$n\ge N$ ならば
        $\sqrt[n]{|z_n|}=\sqrt[n]{\,\left|\dfrac{z_n}{z_{n-1}}\right|\left|\dfrac{z_{n-1}}{z_{n-2}}\right|\cdots\left|\dfrac{z_{N+1}}{z_N}\right|\,}\cdot\sqrt[n]{|z_N|}\\ \hspace{28pt} > \sqrt[n]{\,M^{n-N}\,}\cdot\sqrt[n]{|z_N|} \\ \hspace{28pt} = M \cdot\sqrt[n]{\dfrac{|z_N|}{M^N}}$
        が得られ，$n\to\infty$ として
        $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{|z_n|} \ge M$
        $M > 0$ は任意ゆえ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|z_n|} = \infty$ である．
   2. 例えば
      $\left\{\begin{array}{l}z_1=1\\z_{n+1}=\{2+(-1)^n\}z_n\end{array}\right.\quad(n=1,2,\ldots)$
      と定めると，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{z_{n+1}}{z_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\{2+(-1)^n\}$ は存在しないが
      $z_{2m-1}=z_{2m}=3^m\quad (m=1,2,\ldots)$
      ゆえ
      $\displaystyle \lim_{m\to\infty}|z_{2m-1}|^{1/(2m-1)}=\lim_{m\to\infty}3^{m/(2m-1)}=\sqrt{3}$
      $\displaystyle \lim_{m\to\infty}|z_{2m}|^{1/2m}=\lim_{m\to\infty}3^{m/2m}=\sqrt{3}$
      従って $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|z_n|}=\sqrt{3}$ である．
      あるいは
      $\left\{\begin{array}{l}w_{2m-1}=1\\w_{2m}=2m\end{array}\right.\quad(m=1,2,\ldots)$
      と定めると
      $\displaystyle \lim_{m\to\infty}\left|\dfrac{w_{2m}}{w_{2m-1}}\right|=\lim_{m\to\infty}2m=\infty$
      $\displaystyle \lim_{m\to\infty}\left|\dfrac{w_{2m+1}}{w_{2m}}\right|=\lim_{m\to\infty}\dfrac{1}{2m}=0$
      ゆえ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{w_{n+1}}{w_n}\right|$ は存在しないが
      $\displaystyle \lim_{m\to\infty}|w_{2m-1}|^{1/(2m-1)}=\lim_{m\to\infty}1^{1/(2m-1)}=1$
      $\displaystyle \lim_{m\to\infty}|w_{2m}|^{1/2m}=\lim_{m\to\infty}(2m)^{1/2m}=1$
      従って $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|w_n|}=1$ である．

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5. 実数列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$，$(y_n)_{n\in\mathbf{N}}$ について
   $\forall n\in\mathbf{N},\ x_n < y_n$
   が成り立っているとき，以下の真偽を判定せよ．
   1. $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n=\infty$ ならば $\displaystyle \lim_{n\to\infty}{y_n}=\infty$
   2. $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n=\infty$ ならば $\displaystyle \lim_{n\to\infty}y_n=\infty$
   3. $\displaystyle \exists N_0\in\mathbf{N},\ N\ge N_0\ \Rightarrow\ \sup_{n\ge N}x_n\le\limsup_{n\to\infty}{y_n}$
   4. $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n\le\liminf_{n\to\infty}{y_n}$
   5. $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n\ge\limsup_{n\to\infty}{y_n}$ ならば $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n$，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}y_n$ はともに存在する．
   解答
   1. 偽．
      例えば，$x_n=n(-1)^n$，$y_n=1+n(-1)^n$ とすると，$x_n < y_n\ (\forall n\in\mathbf{N})$，$\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n=\infty$ だが $\displaystyle \lim_{n\to\infty}{y_n}$ は存在しない．
   2. 真．
      $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n=\infty\ \Leftrightarrow\ \displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n =\infty$ に注意．
   3. 偽．
      例えば，$x_n=\dfrac{1}{n}$，$y_n=\dfrac{2}{n}$ とすると，$x_n < y_n\ (\forall n\in\mathbf{N})$ だが， $\displaystyle \sup_{n\ge N}x_n=\dfrac{1}{N} > 0\ (\forall N\in\mathbf{N})$，$\displaystyle \limsup_{n\to\infty}{y_n}=0$ である．
   4. 偽．
      例えば，$x_n=(-1)^n$，$y_n=1+(-1)^n$ とすると，$x_n < y_n\ (\forall n\in\mathbf{N})$ だが， $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n=1$， $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}{y_n}=0$ である．
   5. 真．
      $x_n < y_n\ (\forall n\in\mathbf{N})$ より，$\displaystyle\ \limsup_{n\to\infty}y_n\le \liminf_{n\to\infty}x_n$ ならば
      $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n\le \liminf_{n\to\infty}y_n\le\limsup_{n\to\infty}y_n\le \liminf_{n\to\infty}x_n$
      $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}y_n\le \liminf_{n\to\infty}x_n\le\limsup_{n\to\infty}x_n\le \limsup_{n\to\infty}y_n$
      が成り立つので $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n = \limsup_{n\to\infty}x_n$，$\displaystyle \liminf_{n\to\infty}y_n = \limsup_{n\to\infty}y_n$ である．

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6. 複素数列 $(z_n)_{n\in\mathbf{N}}$，$(w_n)_{n\in\mathbf{N}}$ について，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}z_n=z$，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}w_n=w$ ($z,w\in\mathbf{C}$) とするとき，次を示せ．
   1. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\overline{z_n}=\overline{z}$
   2. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}|z_n|=|z|$
   3. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(z_n+w_n)=z+w$
   4. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(z_nw_n)=zw$
   5. $w\neq0$ ならば $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{z_n}{w_n}=\dfrac{z}{w}$
   解答
   1. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}z_n=z\ \Leftrightarrow\ \lim_{n\to\infty}|z-z_n|=0$ であるから，$|\overline{z}-\overline{z_n}|=\big|\,\overline{z-z_n}\,\big|=|z-z_n|$ より従う．
   2. 絶対値の性質より，任意の $n\in\mathbf{N}$ に対して $0\le |\,|z|-|z_n|\,|\le |z-z_n|$ が成り立つから
      $\displaystyle 0\le \lim_{n\to\infty}\big|\,|z|-|z_n|\,|\le \lim_{n\to\infty}|z-z_n|=0$
      よって$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\big|\,|z|-|z_n|\,\big|=0$，すなわち $\displaystyle \lim_{n\to\infty}|z_n|=|z|$．
   3. 任意に与えられた $\varepsilon > 0$ に対して，$N\in\mathbf{N}$ を
      $n\ge N\ \Rightarrow\ |z-z_n| < \dfrac{\varepsilon}{2}\ \mathrm{and}\ |w-w_n| < \dfrac{\varepsilon}{2}$
      となるようにとると，$n\ge N$ のとき
      $|\,z+w-(z_n+w_n)\,|\le |z-z_n|+|w-w_n| < \dfrac{\varepsilon}{2}+\dfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$
      が成り立つ．
   4. 任意に与えられた $\varepsilon > 0$ に対して $\eta=\dfrac{\varepsilon}{|z|+|w|+1}$ とおき，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}|z_n|=|z|$ に注意して，$N\in\mathbf{N}$ を
      $n\ge N\ \Rightarrow\ |z-z_n| < \eta,\ |w-w_n| < \eta,\ \mathrm{and}\ |z_n|< |z|+1$
      となるようにとると，$n\ge N$ のとき
      $|\,zw-z_nw_n\,| \le |z-z_n||w|+|z_n||w-w_n|\\ \hspace{55pt} < \eta\,(|w|+|z_n|)\\ \hspace{55pt} < \eta\,(|z|+|w|+1)=\varepsilon$
      が成り立つ．
   5. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{w_n}=\dfrac{1}{w}$ を示せば十分である．
      任意に与えられた $\varepsilon > 0$ に対して，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}|w_n|=|w|$ に注意して，$N\in\mathbf{N}$ を
      $n\ge N\ \Rightarrow\ |w-w_n| < \dfrac{|w|^2}{2}\varepsilon\ \mathrm{and}\ |w_n| > \dfrac{|w|}{2}$
      となるようにとると，$n\ge N$ のとき
      $\left|\,\dfrac{1}{w}-\dfrac{1}{w_n}\,\right| =\dfrac{|w_n-w|}{|w||w_n|} < \dfrac{2}{|w|^2}\cdot|w-w_n| < \varepsilon$
      が成り立つ．

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7. 複素数列 $(z_n)_{n\in\mathbf{N}}$，$z_n=x_n+y_ni$，$x_n,y_n\in\mathbf{R}$ について，次を示せ．
   1. $z=x+yi$，$x,y\in\mathbf{R}$ とするとき
      $\displaystyle \lim_{n\to\infty}z_n=z\ \Leftrightarrow\ \lim_{n\to\infty}x_n=x\ \mathrm{and}\ \lim_{n\to\infty}y_n=y$
   2. $(z_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が $\mathbf{C}$ のCauchy列 $\Leftrightarrow$ $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$，$(y_n)_{n\in\mathbf{N}}$ がともに $\mathbf{R}$ のCauchy列
   解答
   1. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=x$ かつ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}y_n=y$ ならば，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}|x-x_n|=\lim_{n\to\infty}|y-y_n|=0$ ゆえ
      $0\le |z-z_n|=\sqrt{(x-x_n)^2+(y-y_n)^2}\le |x-x_n|+|y-y_n|$
      で $n\to\infty$ として $\displaystyle \lim_{n\to\infty}|z-z_n|=0$，すなわち $\displaystyle \lim_{n\to\infty}z_n=z$．逆に，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}z_n=z$ すなわち $\displaystyle \lim_{n\to\infty}|z-z_n|=0$ ならば
      $0\le |x-x_n| \le \sqrt{(x-x_n)^2+(y-y_n)^2}\le |z-z_n|$
      $0\le |y-y_n| \le \sqrt{(x-x_n)^2+(y-y_n)^2}\le |z-z_n|$
      で $n\to\infty$ として $\displaystyle \lim_{n\to\infty}|x-x_n|=\lim_{n\to\infty}|y-y_n|=0$，すなわち $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=x$ かつ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}y_n=y$．
   2. $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$，$(y_n)_{n\in\mathbf{N}}$ がともに $\mathbf{R}$ のCauchy列ならば，任意の $\varepsilon > 0$ に対して
      $m,n\ge N\ \Rightarrow\ |x_m-x_n| < \dfrac{\varepsilon}{2},\ |y_m-y_n| < \dfrac{\varepsilon}{2}$
      となる $N\in\mathbf{N}$ がとれるから，このとき
      $m,n\ge N\ \Rightarrow\ |z_m-z_n|\le |x_m-x_n| + |y_m-y_n| < \varepsilon$
      が成り立つ．逆に，$(z_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が $\mathbf{C}$ のCauchy列ならば，任意の $\varepsilon > 0$ に対して
      $m,n\ge N\ \Rightarrow\ |z_m-z_n| < \varepsilon$
      となる $N\in\mathbf{N}$ がとれるから，$\max\{\,|x_m-x_n|,\ |y_m-y_n|\,\}\le|z_m-z_n|$ に注意すると，このとき
      $m,n\ge N\ \Rightarrow\ |x_m-x_n| < \varepsilon\ \mathrm{and}\ |y_m-y_n| < \varepsilon$
      が成り立つ．

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8. $\mathbf{N}$ が有限個の無限部分集合 $A_m,\ m=1,2,\ldots,M$ により
   $\displaystyle \mathbf{N}=\bigcup_{m=1}^MA_m$
   と表されているとき，複素数列 $(z_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が複素数 $z$ に収束するための必要十分条件は，各 $m=1,2,\ldots, M$ について部分列 $(z_n)_{n\in A_m}$ が $z$ に収束することである．このことを示せ．
   解答
   $(z_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が $z$ に収束するとすると，任意に与えられた $\varepsilon > 0$ に対して

   $\forall n\in \mathbf{N}\,[\,n\ge N\ \Rightarrow\ |z-z_n| < \varepsilon$]

   となる $N\in\mathbf{N}$ がとれるが，このとき各 $m=1,2,\ldots, M$ について

   $\forall n\in A_m\,[\,n\ge N\ \Rightarrow\ |z-z_n| < \varepsilon$]

   が成り立つことは明らかである．
   逆に，各 $m=1,2,\ldots, M$ について部分列 $(z_n)_{n\in A_m}$ が $z$ に収束するとする．これは，任意に与えられた $\varepsilon > 0$ に対して

   $\forall n\in A_m\,[\,n\ge N_m\ \Rightarrow\ |z-z_n| < \varepsilon$]

   となる $N_m\in\mathbf{N}$ がとれるということであるが，このとき $\displaystyle N=\max_{1\le m\le M}N_m$ とおけば

   $n\ge N\ \Rightarrow\ |z-z_n| < \varepsilon$

   が成り立つ 本当に？．

   $n\ge N$ のとき，$n\ge N_m,\ \forall m\in\{\,1,2,\ldots,M\,\}$ だから，$n$ が $A_1,A_2,\ldots,A_M$ のいずれにふくまれていたとしても $|z-z_n| < \varepsilon$ が成り立つ．

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9. 前問と同様の主張は $\mathbf{N}$ が無限個の無限部分集合 $A_m,\ m=1,2,\ldots$ により
   $\displaystyle \mathbf{N}=\bigcup_{m=1}^\infty A_m$
   と表されている場合でも成り立つか？
   解答
   $(z_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が $z$ に収束するならば，各部分列 $(z_n)_{n\in A_m}$ は $z$ に収束するが，逆は成り立たない． 例えば

   $A_m=\{\,2^{m-1}(2k-1)\,|\,k\in\mathbf{N}\,\}$

   $z_n=\dfrac{1}{2k-1}\quad\mathrm{if}\ n=2^{m-1}(2k-1)\in A_m$

   と定めると，$\mathbf{N}=\bigcup_{m=1}^\infty A_m$ であって，各部分列 $(z_n)_{n\in A_m}$ は $0$ に収束するが， $z_{2^{m-1}}=1,\ \forall m\in\mathbf{N}$ なので $(z_n)_{n\in\mathbf{N}}$ は収束しない．

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10. 実部虚部がともに有理数である複素数の集合を $\mathbf{C}_0$ と書くことにする：
    $\mathbf{C}_0=\{\,p+qi\,|\,p,\ q\in\mathbf{Q}\,\}$
    このとき，$\mathbf{C}_0$ は $\mathbf{C}$ において，次の意味で稠密である：
    $\forall z\in\mathbf{C},\ \forall\varepsilon > 0,\ \exists z_0\in\mathbf{C}_0,\ |z-z_0| < \varepsilon$
    このことを示せ．
    解答
    任意の $z=x+yi\in\mathbf{C}$ および $\varepsilon > 0$ に対して，$\mathbf{Q}$ が $\mathbf{R}$ において稠密であることより

    $|x-p| < \dfrac{\varepsilon}{2}$，$|y-p| < \dfrac{\varepsilon}{2}$

    なる $p,q\in\mathbf{Q}$ が存在する．よって，$z_0=p+qi\in\mathbf{C}_0$ とおけば

    $|z-z_0|=\sqrt{(x-p)^2+(y-q)^2}\le |x-p|+|y-p| < \varepsilon$

    が成り立つ．

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11. (複素数列に関するBolzano-Weierstrassの定理) 複素数列 $(z_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が有界，すなわち，ある実数 $M > 0$ が存在して $\forall n\in\mathbf{N},\ |z_n| \le M$ が成り立つならば，番号 $n_1 < n_2 < \cdots < n_k < \cdots$ を適当にとることにより収束する部分列 $(z_{n_k})_{k\in\mathbf{N}}$ をつくることができる．このことを示せ．
    解答
    $z_n=x_n+y_ni\ (x_n,y_n\in\mathbf{R})$ とおくと

    $|x_n|\le \sqrt{|x_n|^2+|y_n|^2}=|z_n| \le M$

    ゆえ，実数列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ は有界である．よって，実数列に関するBolzano-Weierstrassの定理により，収束する部分列 $(x_{n_k})_{k\in\mathbf{N}}$ をとることができる． $\tilde{x}_k=x_{n_k}$，$\tilde{y}_k=y_{n_k}$，$\displaystyle \lim_{k\to\infty}\tilde{x}_k=x\ \in\mathbf{R}$ とおこう． このとき

    $|\tilde{y}_k|\le \sqrt{|x_{n_k}|^2+|y_{n_k}|^2}=|z_{n_k}| \le M$

    ゆえ，実数列 $(\tilde{y}_k)_{k\in\mathbf{N}}$ もやはり有界であるから，収束する部分列 $(\tilde{y}_{k_j})_{j\in\mathbf{N}}$ をとることができる． 従って，$\displaystyle \lim_{j\to\infty}\tilde{y}_{k_j}=y\ \in\mathbf{R}$ とおけば

    $\displaystyle \lim_{j\to\infty}z_{n_{k_j}}=\lim_{j\to\infty}(\tilde{x}_{k_j}+\tilde{y}_{k_j}i)=x+yi\ \in\mathbf{C}$

    が成り立ち，$(z_n)_{n\in\mathbf{N}}$ の収束部分列 $(z_{n_{k_j}})_{j\in\mathbf{N}}$ が得られた．

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12. $\mathbf{C}$ は順序体ではないが，次の辞書式順序を入れることで順序集合とみなすことができる：
    $x+yi < x'+y'i\ \stackrel{\mathrm{def}}{\iff}\ x < x'\ \mathrm{or}\ [x=x'\ \mathrm{and}\ y < y']$
    この順序集合としての $\mathbf{C}$ において $0$ に収束する数列，すなわち
    $z < 0 < z'$ なる任意の $z,\,z'\in\mathbf{C}$ に対して

    $n\ge N\ \Rightarrow\ z < z_n < z'$

    となる $N\in\mathbf{N}$ が存在する
    ような $(z_n)_{n\in\mathbf{N}}$ はどのような数列であるか調べよ．
    解答
    この順序に関しては，例えば $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$ は成り立たない．なぜなら，任意の $n\in\mathbf{N}$ について $0 < i < \dfrac{1}{n}$ となるからである． 対して，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{i}{n}=0$ などは成り立つ．実際，$x+yi > 0$ が任意に与えられたとき，$0 < x\ \mathrm{or}\ [x=0\ \mathrm{and}\ 0 < y]$ ゆえ $n$ が十分大きければ $0 < \dfrac{i}{n} < x+yi$ が成り立つからである．以上を踏まえると，$0$ に収束する複素数列 $(x_n+y_ni)_{n\in\mathbf{N}}$ は

    $n$ が十分大きいとき $x_n=0$ であり，かつ通常の実数列の収束の意味で $\displaystyle \lim_{n\to\infty}y_n=0$

    を満たすような数列であることがわかる．

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