補充問題

1. $z,\ w\in\mathbf{C}$ について，以下が成り立つことを確かめよ．
   1. $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
   2. $\overline{zw}=\overline{z}\,\overline{w}$
   3. $\overline{\Big(\dfrac{z}{w}\Big)}=\dfrac{\,\overline{z}\,}{\overline{w}}$　(ただし $w\neq0$)
   4. $|zw|=|z||w|$
   5. $\bigg|\dfrac{z}{w}\bigg|=\dfrac{|z|}{|w|}$　(ただし $w\neq0$)
   6. $|z+w|\le |z|+|w|$
   7. $\big|\,|z|-|w|\,\big|\le |z-w|$
   解答
   $z=x+yi$，$w=x'+y'i$ ($x,x',y,y'\in\mathbf{R}$) とおく．

   1. $\overline{z+w}=\overline{x+x'+(y+y')i}=x+x'-(y+y')i=x-yi+x-y'i=\overline{z}+\overline{w}$
   2. $\overline{zw}=\overline{xx'-yy'+(xy'+x'y)i}=xx'-yy'-(xy'+x'y)i=(x-yi)(x'-y'i)=\overline{z}\,\overline{w}$
   3. $|w|^2=w\overline{w}$ とii.より
      $\overline{\Big(\dfrac{z}{w}\Big)} =\overline{z\cdot\dfrac{1}{|w|^2}\cdot\overline{w}} =\overline{z}\cdot\overline{\dfrac{1}{|w|^2}}\cdot\overline{\overline{w}} =\overline{z}\cdot\dfrac{1}{|w|^2}\cdot w =\dfrac{\,\overline{z}\,}{\overline{w}}$
   4. ii.より $|zw|^2=zw\overline{zw}=zw\overline{z}\,\overline{w}=|z|^2|w|^2=(|z||w|)^2$．
   5. iii.より $\bigg|\dfrac{z}{w}\bigg|^2 =\dfrac{z}{w}\overline{\Big(\dfrac{z}{w}\Big)} =\dfrac{z}{w}\cdot\dfrac{\overline{z}}{\overline{w}} =\dfrac{|z|^2}{|w|^2} =\Big(\dfrac{|z|}{|w|}\Big)^2$．
   6. Schwarzの不等式
      $|xx'+yy'|\le \sqrt{x^2+y^2}\sqrt{{x'}^2+{y'}^2}$
      により 詳しく！
      $(x^2+y^2)({x'}^2+{y'}^2)-(xx'+yy')^2=x^2{y'}^2+{x'}^2y^2-2xxyy'=(xy'-x'y)^2\ge0$

      閉じる
      $|z+w|^2=(x+x')^2+(y+y')^2\\ \hspace{34pt}=x^2+{x'}^2+y^2+{y'}^2+2(xx'+yy')\\ \hspace{34pt}\le x^2+{x'}^2+y^2+{y'}^2+2\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{{x'}^2+{y'}^2}\\ \hspace{34pt}=|z|^2+|w|^2+2|z||w|\\ \hspace{34pt}=(|z|+|w|)^2$
   7. vi.より $|z|\le |z-w|+|w|$ ゆえ $|z-w|\ge |z|-|w|$．また，$|w|\le |w-z|+|z|$ ゆえ $|z-w|=|w-z|\ge |w|-|z|$．

   閉じる
2. $\mathbf{C}$ における積の定義を以下のように変更したとする．
   1. $(x+yi)(x'+y'i)\stackrel{\mathrm{def}}{=}xx'+yy'i$
   2. $(x+yi)(x'+y'i)\stackrel{\mathrm{def}}{=}xx'+yy'+(xy'+x'y)i$
   このような変更を行っても $\mathbf{C}$ は体となるか，それぞれの場合について調べよ．
   解答
   いずれの場合も体とはならない．

   1. 乗法単位元は $1+i$ であるが，例えば $1=1+0i$ や $i=0+i$ の乗法逆元が存在しない．
   2. 乗法単位元は $1=1+0i$ であるが，例えば $1+i$ の乗法逆元が存在しない．

   閉じる
3. $\mathbf{C}$ においては，通常の演算はいかなる順序とも両立しない(第1講補充問題4)が，それでは $\mathbf{C}$ に適当な演算と順序を定義することで $\mathbf{C}$ が順序体となるようにすることは不可能であろうか．
   解答
   面白い例とは言えないが，可能ではある． 実際，$\mathbf{C}$ から $\mathbf{R}$ の全単射 $f$ が存在するので(これは構成可能だがかなり大変である)，$\mathbf{C}$ における和と積を

   $z+z'\stackrel{\mathrm{def}}{=}f(z)+f(z')$

   $zz'\stackrel{\mathrm{def}}{=}f(z)f(z')$

   順序を

   $z < z'\stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}f(z) < f(z')$

   により定義すれば(すべて右辺は実数としての和・積・順序である)，$\mathbf{C}$ は $\mathbf{R}$ と同型な順序体となる．

   閉じる