複素関数の極限
複素関数の極限は実関数と同様に定義される．すなわち，
複素関数 $f(z)$ が，$z\to z_0$ のとき $\alpha\in\mathbf{C}$ に収束するとは，
$\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ 0 < |z-z_0|<\delta\Rightarrow|f(z)-\alpha|<\varepsilon$
が成り立つことをいい，$\displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)=\alpha$ と表す．
また，このことは
$\displaystyle \lim_{z\to z_0}|f(z)-\alpha|=0$
が成り立つことだといってもよい．
二変数の実関数の場合と同様に．$z$が$z_0$に近づくときの「近づき方」は無数に考えられるが，どのような近づき方をしても$f(z)$がある複素数に近づいていくときに「
$\displaystyle \lim_{z\to\alpha}f(z)$が存在する」
と言えるのである．
そこで，$z$ が $z_0$ にある条件を満たしながら近づくときは，その条件を「$z\to z_0$」の
下に記すことにする．例えば，
$\displaystyle \lim_{\substack{z\to 0\\ \mathrm{Re}z=0}}\dfrac{z}{\bar{z}}=\lim_{\substack{x+yi\to 0\\ x=0}}\dfrac{x+yi}{x-yi}=\lim_{y\to 0}\dfrac{yi}{-yi}=-1$
実関数の場合と全く同様に，複素関数 $f$，$g$ について，$\displaystyle \lim_{z\to z_0}f(z)=\alpha$，$\displaystyle \lim_{z\to z_0}g(z)=\beta$ $(\alpha,\beta\in\mathbf{C})$ のとき次が成り立つ：
-
$\displaystyle \lim_{z\to z_0}\{f(z)+g(z)\}=\alpha+\beta$
-
$\displaystyle \lim_{z\to z_0}f(z)g(z)=\alpha\beta$
-
$\beta\neq 0$ならば$\displaystyle \lim_{z\to z_0}\dfrac{f(z)}{g(z)}=\dfrac{\alpha}{\beta}$
連続性・微分可能性
複素関数の連続性，微分可能性も実関数と同様に定義される．
すなわち，
複素関数$f$が点 $z_0\in\mathbf{C}$ およびその近傍で定義されているとき，
$f$ が $z_0$ で
連続であるとは
$\displaystyle \lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)$
が成り立つことをいい，
$f$ が $z_0$ で
微分可能であるとは，極限
$\displaystyle \lim_{\Delta z\to 0}\dfrac{f(z_0+\Delta{z})-f(z_0)}{\Delta{z}}$
が $\mathbf{C}$ の値として存在することをいう．
その極限値はやはり $f$ の $z_0$ における
微分係数と呼び，$f'(z_0)$，$\dfrac{df}{dz}(z_0)$ などと表す．
式の形上は実関数と全く同じ定義なので，基本的な計算規則等は実関数と同様に成り立つ．例えば，冪関数 $z^n$ $(n\in\mathbf{Z})$ は $\mathbf{C}$ ($n < 0$ のときは $\mathbf{C}\backslash\{0\}$ )のすべての点で微分可能で
$\dfrac{d}{dz}z^n=nz^{n-1}$
が成り立つ(証明は練習問題とする)．このように，複素関数が連続あるいは微分可能であれば実関数と同様に計算を行えばよいので，
当面の問題は「どのような関数がどこで連続なのか，あるいは微分可能なのか」ということになる．
複素関数 $f(z)$，$g(z)$ の連続性について，次が成り立つことは実関数の場合と同様である：
-
$f(z)$，$g(z)$ が $z=z_0$ で連続ならば，$f(z)+g(z)$，$f(z)g(z)$ も $z=z_0$ で連続．さらに $g(z_0)\neq0$ ならば，$\dfrac{f(z)}{g(z)}$ も $z=z_0$ で連続である
-
$f(z)$ が $z=w_0$ で連続，$g(z)$ が $z=z_0$ で連続で $g(z_0)=w_0$ ならば，合成関数 $f\circ g(z)$ も $z=z_0$ で連続である
微分可能性についても同様である．特に，以下の計算規則が成り立つ：
-
(線型性) $\{\alpha f(z)+ \beta g(z)\}'=\alpha f'(z)+\beta g'(z)$
-
(積の微分) $\{f(z)g(z)\}'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)$
-
(商の微分) $\Big\{\dfrac{f(z)}{g(z)}\Big\}'=\dfrac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g(z)^2}$
-
(合成関数の微分) $\{f(g(z))\}'=f'(g(z))g'(z)$
関数
$f(z)=\bar{z}$
は $\mathbf{C}$ のすべての点で連続であるが，
すべての点で微分不可能である．
実際，任意の $\alpha\in\mathbf{C}$ に対して
$\displaystyle
\lim_{z\to \alpha}|f(z)-f(\alpha)|
=\lim_{z\to \alpha}|\bar{z}-\bar{\alpha}|
=\lim_{z\to \alpha}|z-\alpha|=0$
であるから $f$ は $\alpha$ で連続であり，
$\displaystyle
\lim_{\Delta z\to 0}\dfrac{f(\alpha+\Delta z)-f(\alpha)}{\Delta z}
=\lim_{\Delta z\to 0}\dfrac{\overline{\alpha+\Delta z}-\overline{\alpha}}{\Delta z}\\
\hspace{102pt}=\displaystyle \lim_{\Delta z\to 0}\dfrac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}$
であるが，この極限は存在しない．なぜなら
$\displaystyle \lim_{\substack{z\to 0\\ \mathrm{Re}z=0}}\dfrac{\bar{z}}{z}=\lim_{\substack{x+yi\to 0\\ x=0}}\dfrac{x-yi}{x+yi}=\lim_{y\to 0}\dfrac{-yi}{yi}=-1$
$\displaystyle \lim_{\substack{z\to 0\\ \mathrm{Im}z=0}}\dfrac{\bar{z}}{z}=\lim_{\substack{x+yi\to 0\\ y=0}}\dfrac{x-yi}{x+yi}=\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{x}=1$
だからである．よって $f$ は $\alpha$ で微分不可能である．
Cauchy-Riemannの関係式
次の事実は微分可能性の判定において特に有用である．
複素関数 $f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i$ が点 $x_0+y_0i\in\mathbf{C}$ で微分可能ならば，
その実部 $u(x,y)$，虚部 $v(x,y)$ について次の
Cauchy-Riemannの関係式が成り立つ：
$\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0)=\dfrac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)\\[2mm]
\dfrac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0)=-\dfrac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)\end{array}\right.$
関数 $f(z)=z^2$ は $\mathbf{C}$ のすべての点で微分可能であり．$f(x+yi)=x^2-y^2+2xyi$ と表せる．そこで，$u(x,y)=x^2-y^2$，$v(x,y)=2xy$ とおくと
$\dfrac{\partial u}{\partial x}(x,y)=2x$，$\dfrac{\partial v}{\partial x}(x,y)=2y$
$\dfrac{\partial u}{\partial y}(x,y)=-2y$，$\dfrac{\partial v}{\partial y}(x,y)=2x$
より，確かにCauchy-Riemannの関係式
$\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\dfrac{\partial v}{\partial y}(x,y)\\[2mm]
\dfrac{\partial u}{\partial y}(x,y)=-\dfrac{\partial v}{\partial x}(x,y)\end{array}\right.$
が $\mathbf{R}^2$ のすべての点で成り立っている．
逆に，関数 $u$，$v$ が点 $(x_0,y_0)\in\mathbf{R}^2$ のある近傍で $C^1$ 級であってさらに上の関係式を満たすならば，$f$ は点 $x_0+y_0i\in\mathbf{C}$ で微分可能である
証明pdf．
このとき，微分係数 $f'(x_0+y_0i)$ は
$f'(x_0+y_0i)=u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0)$
あるいは
$f'(x_0+y_0i)=v_y(x_0,y_0)-iu_x(x_0,y_0)$
と表されることになる．なぜなら，微分可能性が保証されているならば，
極限
$\displaystyle \lim_{\Delta x +i\Delta y\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x+i(y_0+\Delta y))-f(x_0+y_0i)}{\Delta x +i\Delta y}$
はどの方向からとっても同じ値$f'(x_0+y_0i)$になるはずで，特に $\Delta y=0$ とした極限
$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x+iy_0)-f(x_0+y_0i)}{\Delta x}$
をとれば上記第一の式が，さらにCauchy-Riemannの関係式より第二の式が得られる．
このことを利用すると，例えば指数関数 $e^z$ が $\mathbf{C}$ のすべての点において微分可能であり
$\dfrac{d}{dz}e^z=e^z$
が成り立つことが確かめられる
詳しく！．
指数関数 $f(z)=e^z$ は $f(x+yi)=e^x\cos{y}+ie^x\sin{y}$ と表せる．そこで，$u(x,y)=e^x\cos{y}$，$v(x,y)=e^x\sin{y}$ とおくと，これらは $C^1$ 級関数であって
$\dfrac{\partial u}{\partial x}(x,y)=e^x\cos{y}$，$\dfrac{\partial u}{\partial y}(x,y)=-e^x\sin{y}$
$\dfrac{\partial v}{\partial x}(x,y)=e^x\sin{y}$，$\dfrac{\partial v}{\partial y}(x,y)=e^x\cos{y}$
となるからCauchy-Riemannの関係式
$\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\dfrac{\partial v}{\partial y}(x,y)\\[1mm]
\dfrac{\partial u}{\partial y}(x,y)=-\dfrac{\partial v}{\partial x}(x,y)
\end{array}\right.$
が $\mathbf{R}^2$ のすべての点で成り立っている．従って，$f(z)=e^z$ は $\mathbf{C}$ のすべての点で微分可能であって
$f'(x+yi)=\dfrac{\partial u}{\partial x}(x,y)+i\dfrac{\partial v}{\partial x}(x,y)\\[1mm]
\hspace{43pt}=e^x\cos{y}+ie^x\sin{y}$
すなわち $f'(z)=e^z$ が成り立つ．
前講で見た三角関数，双曲線関数は指数関数を用いて定義されていた．
従って，
これらの関数もその定義域のすべての点で微分可能であって
$\dfrac{d}{dz}\cos{z}=-\sin{z}$，
$\dfrac{d}{dz}\sin{z}=\cos{z}$，
$\dfrac{d}{dz}\tan{z}=\dfrac{1}{\cos^2{z}}$
$\dfrac{d}{dz}\cosh{z}=\sinh{z}$，
$\dfrac{d}{dz}\sinh{z}=\cosh{z}$，
$\dfrac{d}{dz}\tanh{z}=\dfrac{1}{\cosh^2{z}}$
が成り立つことも容易にわかる．