実関数
$D$ を $\mathbf{R}$ の空でない部分集合とするとき，$D$ の各元 $x$ に対して実数 $f(x)$ を対応させる規則 $f$ のことを
実関数と呼び
$\begin{array}{ll}f:&D\to\mathbf{R}\\&x\mapsto \mbox{($x$ の式)}\end{array}$
あるいは
$f:\ D\to\mathbf{R},\quad f(x)=\mbox{($x$ の式)}$
のように表す．このとき，集合 $D$ を $f$ の
定義域，集合 $f(D)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{\,f(x)\,|\,x\in D\,\}$ を $f$ の
値域と呼ぶ．値域がある集合 $T$ に含まれていることが明らかな場合は
$\begin{array}{ll}f:&D\to T\\&x\mapsto \mbox{($x$ の式)}\end{array}$
などと書いてもよい．
定義域が $\mathbf{R}$ (実数全体)であるとき，あるいは式の形から定義域が明らかな場合は $f(x)=\mbox{($x$ の式)}$ だけで関数を表すことがしばしばある．
例えば
$\begin{array}{ll}f:&\mathbf{R}\backslash\{0\}\to\mathbf{R}\\&x\mapsto\dfrac{1}{x}\end{array}$
という関数は，$\dfrac{1}{x}$ が $0$ でないすべての $x$ について定義されていることは了解済みということで $f(x)=\dfrac{1}{x}$ という式だけが与えられることがある．うるさいことを言えば，関数を指定するときはその定義域も含め指定するべきで，せめて
$f(x)=\dfrac{1}{x}\qquad(x\neq0)$
のように書くことが望ましいが，そうは言っても，現実の問題は常に始めからすべてがお膳立てされているわけではないので，定義域が指定されていない場合に，それを式の形から適切に判断するのも必要なことではある．
本講座では，「実関数」とは一つの実数に一つの実数を対応させる
一変数実関数を指すものとする．より一般には，例えば
$\begin{array}{ll}f:&\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}\\&(x,y)\mapsto x+y\end{array}$
のように，複数の実数に一つの実数を対応させる二変数実関数(多変数実関数)も考えられるが，ここでは扱わない．
さらに一般に，関数(function)という言葉は，現代では
写像(mapping)と同じ意味で用いられるようになってきており，定義域及び値域が $\mathbf{R}$ の部分集合ではない関数もありうる．例えば
$\begin{array}{ll}f:&\mathbf{C}\to \mathbf{C}\\&z\mapsto\overline{z}\end{array}$
は複素数 $z$ にその複素共役 $\overline{z}$ を対応させる
複素関数であり
$\begin{array}{ll}f:&\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^2\\&\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\mapsto\left(\begin{array}{c}y\\x\end{array}\right)\end{array}$
は2次元実数ベクトルを行列 $\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)$ により変換する
線型写像である．
この講座においては，もちろん実数が主題であるから「関数」とは「(一変数)実関数」のことと捉えて構わないが，後述の「連続関数」「合成関数」「逆関数」のように，特に「実」と断らない場合は，上述のような実関数ではないものに対しても考え得ることは一応念頭に置いておこう．
関数の極限
実関数 $f$ の定義域を $D$ とし，実数 $a$ は $D$ の
集積点，すなわち
$\forall\delta > 0,\ \exists x\in D,\ 0 < |x-a| < \delta$
を満たすものとする．
要するに，点 $a$ の「近く」には必ず $a$ 以外の $D$ の点があるということを言っている．$a$ 自身は必ずしも $D$ に含まれていなくてもよい．例えば，$D=(0,1)$ とすると，$[0,1]$ に含まれる点はすべて $D$ の集積点である．逆に，$D$ に含まれていても $D$ の集積点とは限らない．例えば，$D=\mathbf{N}$ のような場合は $D$ は集積点をもたない．
以下では「 $x$ が $a$ に近づく」ときの関数値 $f(x)$ の振る舞いを問題にするのでこの要請をおくのである．
$D$ の点 $x$ が $a$ に近づくとき $f(x)$ がある実数 $b$ に近づくならば，$f(x)$ は $b$ に
収束するといい，$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=b$ と表す．すなわち，$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=b$ とは
$\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,$$\ \forall x\in D\,[\,0 < |x-a|<\delta\ \Rightarrow\ |f(x)-b| < \varepsilon\,]$
が成り立つことをいう．このとき，$b$ を $x\to a$ における $f$ の
極限値という．
$0 < |x-a| < \delta$ の部分の「 $0 < $ 」を落としてはいけない．
例えば
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1&\mbox{if $x\neq0$}\\0&\mbox{if $x=0$}\end{array}\right.$
という関数の場合，$\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=1$ であることを
$\forall\varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ |x| < \delta\ \Rightarrow\ \left|f(x)-1\right| < \varepsilon$
と書けば一見よさそうだが，$0 < \varepsilon \le 1$ としたとき，$\delta > 0$ をどのようにとっても $|0| < \delta$ かつ $|f(0)-1|=1 \ge \varepsilon $ なので $x=0$ が $|x| < \delta\ \Rightarrow\ \left|f(x)-1\right| < \varepsilon$ の部分の反例となってしまう．
また，$x$ が $a$ より大きい(小さい)値をとりながら $a$ に近づくことを $x\downarrow a$ ($x\uparrow a$) と表す．
すなわち，$\displaystyle \lim_{x\,\downarrow\,a}f(x)=b\ (\in\mathbf{R})$ とは
$\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,$$\ \forall x\in D\,[\,0 < x-a < \delta\ \Rightarrow\ |f(x)-b| < \varepsilon\,]$
$\displaystyle \lim_{x\,\uparrow\,a}f(x)=b\ (\in\mathbf{R})$ とは
$\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,$$\ \forall x\in D\,[\,-\delta < x-a < 0\ \Rightarrow\ |f(x)-b| < \varepsilon\,]$
が成り立つことをいい，このときの $b$ はそれぞれ
右極限値，
左極限値と呼ばれる．
$x\downarrow a$ のことを
$x\searrow a$，$x\to a^-$，
$x\uparrow a$ のことを
$x\nearrow a$，$x\to a^+$
などと書くことも多い．
さらに
$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\infty$，
$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=-\infty$，
$\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)=b$，
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=b$
などの定義も同様である
詳しく！．
$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\infty$，
$\displaystyle \lim_{x\,\downarrow\,a}f(x)=\infty$，
$\displaystyle \lim_{x\,\uparrow\,a}f(x)=\infty$ の定義はそれぞれ
$\forall R > 0,\ \exists\delta > 0,$$\ \forall x\in D\,[\,0 < |x-a| < \delta\ \Rightarrow\ f(x) > R\,]$
$\forall R > 0,\ \exists\delta > 0,$$\ \forall x\in D\,[\,0 < x-a < \delta\ \Rightarrow\ f(x) > R\,]$
$\forall R > 0,\ \exists\delta > 0,$$\ \forall x\in D\,[\,-\delta < x-a < 0\ \Rightarrow\ f(x) > R\,]$
$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=-\infty$，
$\displaystyle \lim_{x\,\downarrow\,a}f(x)=-\infty$，
$\displaystyle \lim_{x\,\uparrow\,a}f(x)=-\infty$ の定義はそれぞれ
$\forall R > 0,\ \exists\delta > 0,$$\ \forall x\in D\,[\,0 < |x-a|<\delta\ \Rightarrow\ f(x) < -R\,]$
$\forall R > 0,\ \exists\delta > 0,$$\ \forall x\in D\,[\,0 < x-a < \delta\ \Rightarrow\ f(x) < -R\,]$
$\forall R > 0,\ \exists\delta > 0,$$\ \forall x\in D\,[\,-\delta < x-a < 0\ \Rightarrow\ f(x) < -R\,]$
$\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)=b$，
$\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)=\infty$，
$\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)=-\infty$ の定義はそれぞれ
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists x_0 > 0,$$\ \forall x\in D\,[\,x > x_0\ \Rightarrow\ |f(x)-b| < \varepsilon\,]$
$\forall R > 0,\ \exists x_0 > 0,$$\ \forall x\in D\,[\,x > x_0\ \Rightarrow\ f(x) > R\,]$
$\forall R > 0,\ \exists x_0 > 0,$$\ \forall x\in D\,[\,x > x_0\ \Rightarrow\ f(x) < -R\,]$
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=b$，
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=\infty$，
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$ の定義はそれぞれ
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists x_0 > 0,$$\ \forall x\in D\,[\,x < -x_0\ \Rightarrow\ |f(x)-b| < \varepsilon\,]$
$\forall R > 0,\ \exists x_0 > 0,$$\ \forall x\in D\,[\,x < -x_0\ \Rightarrow\ f(x) > R\,]$
$\forall R > 0,\ \exists x_0 > 0,$$\ \forall x\in D\,[\,x < -x_0\ \Rightarrow\ f(x) < -R\,]$
以上の表し方は一例である．それぞれの主張の意味するところをよく観察されたい．
-
$\displaystyle \lim_{x\to3}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{4}$ であることを定義に従って確かめよう．
任意に与えられた $\varepsilon > 0$ に対して $\delta=\min\{\,3,4\varepsilon\,\}$ ととれば，$0 < |x-3| < \delta$ のとき $x+1 > 1$
なぜ？
$\delta \le 3$ であって
$|x-3| < 3\ \Leftrightarrow\ 0 < x < 6$
だから．
$\left|\,\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{4}\,\right|=\dfrac{|x-3|}{4(x+1)} < \dfrac{\delta}{4\cdot1} < \dfrac{4\varepsilon}{4}=\varepsilon$
が成り立つ．
-
$\displaystyle \lim_{x\,\downarrow\,1}\dfrac{1}{x^2-1}=\infty$ であることを定義に従って確かめよう．
任意に与えられた $R > 0$ に対して $\delta=\min\Big\{\,1,\dfrac{1}{3R}\,\Big\}$ ととれば，$0 < x-1 < \delta$ のとき $2 < x+1 < 3$ ゆえ
$\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1}{x+1}\cdot\dfrac{1}{x-1} > \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{\delta} \ge \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{\frac{1}{3R}}=R$
が成り立つ．
関数の連続性
実関数 $f$ がその定義域 $D$ の点 $a$ において
連続であるとは
$\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,\ \forall x\in D\,[\,|x-a|<\delta\ \Rightarrow\ |f(x)-f(a)| < \varepsilon\,]$
が成り立つことをいう．$a$ が $D$ の集積点である場合は，このことは
$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$
が成り立つことと同値である．
定義域のすべての点で連続である関数を
連続関数という．
$a$ が $D$ の集積点のとき，$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=b$ とは
$\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,$$\ \forall x\in D\,[\,0 < |x-a|<\delta\ \Rightarrow\ |f(x)-b| < \varepsilon\,]$
が成り立つことをいうのであった．$0 < |x-a|<\delta$ の「$0 < $」を落としてはいけないとは先に注意した通りである．従って，$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ であることは
$\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,$$\ \forall x\in D\,[\,0 < |x-a|<\delta\ \Rightarrow\ |f(x)-f(a)| < \varepsilon\,]$
と書かなければならないはずだが，しかしこの場合は
$\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,$$\ \forall x\in D\,[\,|x-a|<\delta\ \Rightarrow\ |f(x)-f(a)| < \varepsilon\,]$
と書いてもよい．なぜなら，$|x-a|=0$ ならば $x=a$，従って $f(x)=f(a)$ となるので
$|x-a|=0\ \Rightarrow\ |f(x)-f(a)| < \varepsilon$
は任意の $\varepsilon > 0$ に対して自明に成り立つからである．
細かいことを言うと，例えば $D=\mathbf{N}$ すなわち $f$ が自然数においてのみ定義されている場合(「実数列」とはそのような実関数とみなすことができる)は，任意の $a\in\mathbf{N}$ に対して $0 < \delta < 1$ ととれば $|x-a|< \delta$ は $x=a$ を意味することになるので
$|x-a|< \delta\ \Rightarrow\ |f(x)-f(a)| < \varepsilon$
は常に成立し，従って $f$ は任意の $a\in\mathbf{N}$ において連続，すなわち連続関数ということになる．
一般に，実関数 $f$ がその定義域 $D$ に
孤立点
何？
$D$ の点であるが $D$ の集積点ではない点のことである．つまり，$a\in D$ が $D$ の孤立点であるとは
$\exists \delta > 0,\ (a-\delta,a+\delta)\cap D=\{a\}$
を満たすことをいう．
を含むとき，$f$ はその孤立点においては必ず連続である．ただし，通常関数の連続性を問題にするときは，定義域内に孤立点を含むことは想定していないことがほとんどなのであまり神経質になる必要はない．
つまり，通常実関数 $f$ の点 $a$ における連続性を考える場合，$a$ は孤立点ではなく
$f$ は点 $a$ およびその「近く」で定義されている
ことが前提と考えてよい．
-
関数が連続であるとは，グラフに描いたときに「つながっている」ことだと捉えてもそう間違いではないが，例えば
$f:(-\infty,0)\cup(0,\infty)\to\mathbf{R},\quad f(x)=\dfrac{1}{x}$
は連続関数だが，そのグラフは一つにつながってはいない．
「$x=0$ で不連続だ」と言いたくなるかもしれないが，関数が連続か不連続かという議論はその定義域の各点ごとになされることであって，定義域に含まれない点において連続かどうかを云々することには意味がない．
この例の場合，$a\neq0$ ならば $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{a}$ が成り立ち，従って，$f$ は定義域の各点で連続，すなわち連続関数である．
-
改めて，関数の連続性は「各点」において議論されるということを強調しておく．
$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R},\quad f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1&\mbox{if $x\in\mathbf{Q}$}\\0&\mbox{if $x\notin\mathbf{Q}$}\end{array}\right.$
という関数は定義域のすべての点で不連続である．これは，定義域のどの点をとったとしても，$f$ はその点において連続ではないという意味だが，実際，各 $a\in\mathbf{R}$ について，$\delta > 0$ がどんなに小さくても，区間 $(a-\delta,a+\delta)$ には有理数と無理数の両方が含まれるので
$|x-a| < \delta$ かつ $|f(x)-f(a)|=1$
となる $x\in\mathbf{R}$ が存在する．つまり $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ は成り立たず，$f$ は点 $a$ において不連続である．
-
定義域のある一点のみにおいて連続であって，それ以外のすべて点で不連続という関数も考えられる．例えば，実関数 $f$ を
$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R},\quad f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x&\mbox{if $x\in\mathbf{Q}$}\\0&\mbox{if $x\notin\mathbf{Q}$}\end{array}\right.$
により定めると，この $f$ は $x=0$ においてのみ連続で，$x\neq0$ なる点 $x$ においては不連続である．
実際，$|f(x)| \le |x|$ に注意すれば
$\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)$ が成り立つことはすぐにわかる．
$a\in\mathbf{Q}$，$a\neq0$ とするとき，任意の $\delta > 0$ に対して
$0 < |x-a| < \delta$
となる $x\notin\mathbf{Q}$ が存在し
$|f(x)-f(a)| = |a| > 0$
である．従って $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ が成り立つことはない．
また，$a\notin\mathbf{Q}$ とするとき，任意の $\delta > 0$ に対して
$0 < |x-a| < \min\Big\{\,\delta,\dfrac{|a|}{2}\,\Big\}$
となる $x\in\mathbf{Q}$ が存在し
$|f(x)-f(a)| = |x| > \dfrac{|a|}{2} > 0$
である．従ってやはり $\displaystyle \lim_{x\to t}f(x)=f(a)$ が成り立つことはない．
実関数 $f$ がその定義域に含まれる集合 $A$ のすべての点で連続であるとき，$f$ は $A$ において連続，$A$ 上連続などという．有界閉区間において連続な実関数の重要な性質を挙げておく：
-
(中間値の定理)
実関数 $f(x)$ が有界閉区間 $[a,b]$ において連続であって，かつ $f(a)\neq f(b)$ ならば，$f$ は開区間 $(a,b)$ において $f(a)$ と $f(b)$ の間のすべての値をとる．
$f(a) < f(b)$ としてよい．定理の主張は $f(a) < y_0 < f(b)$ ならば $f(x_0)=y_0$ となる $x_0\in (a,b)$ が存在するということであるが，$f(x)-y_0$ を考えることにより
$f(a) < 0 < f(b)$ ならば $f(x_0)=0$ となる $x_0\in (a,b)$ が存在する
ことを示せばよい．
まず，$u_1=b$，$l_1=a$ とし，
$n=1,2,\ldots$ について，$u_n$，$l_n$ が定まったとき
$f\Big(\dfrac{u_n+l_n}{2}\Big) \ge 0$ ならば $u_{n+1}=\dfrac{u_n+l_n}{2},\ l_{n+1}=l_n$
$f\Big(\dfrac{u_n+l_n}{2}\Big) < 0$ ならば $u_{n+1}=u_n,\ l_{n+1}=\dfrac{u_n+l_n}{2}$
と定める．このようにして得られる数列 $(u_n)_{n\in\mathbf{N}}$，$(l_n)_{n\in\mathbf{N}}$ はそれぞれ単調減少，単調増加であり
$\forall n\in\mathbf{N},\ l_n\le u_n$ かつ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(u_n-l_n) = \lim_{n\to\infty}\dfrac{b-a}{2^{n-1}}=0$
を満たすから，縮小区間定理
第4講によりこれらは同一の実数に収束する．それを $x_0$ とおくと，$f$ の連続性により
$\displaystyle f(x_0)=\lim_{n\to\infty}f(u_n)=\lim_{n\to\infty}f(l_n)$
が成り立ち，$u_n$，$l_n$ の定め方により $f(l_n) < 0 \le f(u_n)$ $(n=1,2,\ldots)$ ゆえ
$\displaystyle f(x_0)=\lim_{n\to\infty}f(u_n) \ge 0$
$\displaystyle f(x_0)=\lim_{n\to\infty}f(l_n) \le 0$
従って $f(x_0)=0$ である．
-
(一様連続性)
実関数 $f(x)$ が有界閉区間 $[a,b]$ において連続ならば一様連続である．すなわち
$\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,\ \forall x,x'\in[a,b],\ |x-x'| < \delta\ \Rightarrow\ |f(x)-f(x')| < \varepsilon$
が成り立つ．
$f$ が $[a,b]$ 上で連続であるが一様連続でないとすると
$\forall\delta > 0,\ \exists x,x'\in[a,b],\ |x-x'| < \delta\ \mathrm{and}\ |f(x)-f(x')| \ge \varepsilon$
なる $\varepsilon > 0$ が存在する．この $\varepsilon > 0$ および各 $n\in\mathbf{N}$ に対して，$x_n,{x_n}'\in[a,b]$ を
$|x_n-{x_n}'| < \dfrac{1}{n}\ \mathrm{and}\ |f(x_n)-f({x_n}')| \ge \varepsilon$
を満たすように定める．こうして得られる数列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$，$({x_n}')_{n\in\mathbf{N}}$ について，まず
Bolzano-Weierstrassの定理
第4講より，$(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ の部分列 $(x_{n_k})_{k\in\mathbf{N}}$ および $x\in\mathbf{R}$ が存在して
$\displaystyle \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=x$
が成り立つ．このとき $x\in[a,b]$ であることに注意しよう
詳しく！．
$x < a$ とすると十分大きな $k$ に対して $x_{n_k} < a$，すなわち $x_{n_k}\notin[a,b]$ となってしまう．$b < x$ としても同様である．
さらに
$|x-{x_{n_k}}'|\le |x-{x_{n_k}}|+|x_{n_k}-{x_{n_k}}'|\le |x-{x_{n_k}}|+\dfrac{1}{n}$
より
$\displaystyle \lim_{k\to\infty}{x_{n_k}}'=x$
も成り立つ．よって $f$ の連続性により
$\displaystyle \lim_{k\to\infty}f(x_{n_k})=\lim_{k\to\infty}f({x_{n_k}}')=f(x)$
すなわち
$\displaystyle \lim_{k\to\infty}|f(x_{n_k})-f({x_{n_k}}')|=0$
ということになるが，$|f(x_{n_k})-f({x_{n_k}}')|\ge\varepsilon\ (\forall k\in\mathbf{N})$ ゆえこれは不可能である．
-
(最大値最小値の定理)
実関数 $f(x)$ が有界閉区間 $[a,b]$ において連続ならば $f$ は $[a,b]$ において最大値と最小値をもつ．
$f$ が $[a,b]$ において最大値をもつことを示せば十分である(最小値については $-f$ を考えればよい)．
まず，$f$ の一様連続性により集合 $\{\,f(x)\,|\,x\in[a,b]\,\}$ が有界であることが容易にわかる
詳しく！．
実際，$N\in\mathbf{N}$ を
$\forall x,x'\in[a,b],\ |x-x'| \le \dfrac{b-a}{N}\ \Rightarrow\ |f(x)-f(x')| < 1$
となるようにとり，区間 $[a,b]$ を $N+1$ 等分して
$a_n=a+\dfrac{n}{N}(b-a),\quad n=0,1,\ldots,N$
とおくと，任意の $x\in(a,b]$ について $x\in(a_k,a_{k+1}]$ なる $0\le k < N$ をとることができて
$|f(x)| \le |f(a)|+|f(x)-f(a)|\\
\hspace{25pt}\le |f(a)|+|f(x)-f(a_k)|\\
\hspace{80pt}+|f(a_k)-f(a_{k-1})|+\cdots+|f(a_1)-f(a)|\\
\hspace{25pt}\le |f(a)|+k+1\\
\hspace{25pt}\le |f(a)|+N+1$
が $x=a$ のときも含め成り立つ．
そこで，その上限を
$M=\sup\{\,f(x)\,|\,x\in[a,b]\,\}$
とおく．この$M$ が $f$ の最大値であること，すなわち $f(p)=M$ なる $p\in[a,b]$ の存在を示せばよい．もしそのような $p$ が存在しないとすると，
$f(x) < M,\ \forall x\in[a,b]$
ということになり
$g(x)=\dfrac{1}{M-f(x)}$
とおけば $g$ も $[a,b]$ において連続，従って有界であるから
$g(x) \le R$ すなわち $f(x)\le M-\dfrac{1}{R}\quad(\,\forall x\in[a,b]\,)$
なる $R > 0$ が存在し，これは $M$ が上限(最小上界)であることに反する．
合成関数
この節では，関数 $f$ の定義域を $D(f)$，値域を $R(f)$ と表すことにする．
また，関数 $f$ の定義域を $D'$ $(\subset D(f))$ に制限して得られる関数を $f\,\Big|_{D'}$ と表す．
$f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$ の場合
$D(f)=\mathbf{R}\backslash\{1-,1\}=(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)$
$R(f)=(-\infty,-1]\cup(0,\infty)$
であるが，例えば定義域を $(1,\infty)$ に制限した関数は $f\,\Big|_{(1,\infty)}$ と表され
$f\,\Big|_{(1,\infty)}(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$，$R\Big(f\,\Big|_{(1,\infty)}\Big)=(0,\infty)$
である．同様に
$f\,\Big|_{(-\infty,-1)}(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$，$R\Big(f\,\Big|_{(-\infty,-1)}\Big)=(0,\infty)$
$f\,\Big|_{(-1,1)}(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$，$R\Big(f\,\Big|_{(-1,1)}\Big)=(-\infty,-1]$
このように，$x$ の式としてはすべて同じ $\dfrac{1}{x^2-1}$ なのだが，定義域が異なる以上は異なる関数と見なさなければならないのでこのような表記を用いるのである．
関数 $f$，$g$ が $R(f)\subset D(g)$ を満たすとき，これらの
合成関数 $g\circ f$ を
$\begin{array}{ll}g\circ f:&D(f)\to R(g)\\&x\mapsto g(f(x))\end{array}$
により定義する．$R(f)\not\subset D(g)$ であっても $R(f)\cap D(g)\neq\emptyset$ であれば，$f$ の定義域を適当に制限することにより合成関数を考えることができる．
-
$f(x)=x^2+1$，$g(x)=\dfrac{1}{x}$ とすると
$D(f)=\mathbf{R}$，$R(f)=[1,\infty)$
$D(g)=\mathbf{R}\backslash\{0\}$，$R(g)=\mathbf{R}\backslash\{0\}$
で $R(f)\subset D(g)$，$R(g)\subset D(f)$ ゆえ，$g\circ f$，$f\circ g$ ともに直ちに定義できて
$g\circ f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$，$D(g\circ f)=\mathbf{R}$
$f\circ g(x)=\dfrac{1}{x^2}+1$，$D(f\circ g)=\mathbf{R}\backslash\{0\}$
である．
-
$f(x)=1-x^2$，$g(x)=\sqrt{x}$ とすると
$D(f)=\mathbf{R}$，$R(f)=\mathbf{R}$
$D(g)=[0,\infty)$，$R(g)=[0,\infty)$
で $R(f)\not\subset D(g)$ なので $g\circ f$ は定義できないが，$f$ の定義域を例えば $[-1,1]$ に制限した $f\,\Big|_{[-1,1]}$ であれば
$g\circ f\,\Big|_{[-1,1]}(x)=\sqrt{x^2-1}$，$D\Big(g\circ f\,\Big|_{[-1,1]}\Big)=[-1,1]$
と合成することができる．また，
$R(g)\subset D(f)$ ゆえ $f\circ g$ は直ちに定義できて
$f\circ g(x)=1-\sqrt{x}^2=1-x$，$D(f\circ g)=[0,\infty)$
である．この場合，$1-x$ という式だけをみると $D(f\circ g)=\mathbf{R}$ としてよいと思われるかも知れないが，飽くまでも合成関数 $f\circ g$ の定義域は $g$ の定義域としなければならない．
二つの連続関数の合成関数が(定義可能ならば)やはり連続関数であることは容易に確かめられる(
補充問題7)．
