対数関数
複素関数としての
対数関数は
$\log_{\mathbf{C}}{z}=\log|z|+\arg{z}$，$z\in\mathbf{C}\backslash\{0\}$
により定義される．
ここで，右辺の $\log|z|$ は実関数としての対数関数である．
偏角 $\arg{z}$ のとり方は一意でないので，これは一つの複素数に対して無数の値を返す
多価関数である．
すなわち，$z$ の偏角を指定しないと $\log_{\mathbf{C}}z$ の値は一つに定まらない．
そこで，この講では $z\in\mathbf{C}$ を
$z=re^{i\theta}\quad r > 0,\ \theta\in\mathbf{R}$
と極形式で表したときは $z$ の偏角は $\theta$ に指定されているものとする．
この約束の下で，複素対数関数は
$\log_{\mathbf{C}}{re^{i\theta}}=\log{r}+i\theta$
と計算される．
実は $\log_{\mathbf{C}}{z}$ という表記はあまり一般的ではなく，
単に $\log{z}$ と書くことが多い．
しかし，実関数としての対数関数とははっきり区別しなければならない場面もあり，
この講では原則として $\log_{\mathbf{C}}{z}$ と書くことにする．
以後，混乱が生じる可能性があるときはその都度断りを入れる．
例えば，$-2$ を極形式で表すと $2e^{(2n+1)\pi i}\quad(n\in\mathbf{Z})$ であるが，
$-2=2e^{\pi i}$ と表したときは，偏角が $\pi$ に指定されているという了解の下に
$\log_{\mathbf{C}}(-2)=\log_{\mathbf{C}}(2e^{\pi i})=\log2+\pi i$
同様に，$-2=2e^{-\pi i}$ と表したときは
$\log_{\mathbf{C}}(-2)=\log_{\mathbf{C}}(2e^{-\pi i})=\log2-\pi i$
となる．偏角の指定がない場合は
$\log_{\mathbf{C}}(-2)=\log2+(2n+1)\pi i\quad(n\in\mathbf{Z})$
と表されることになる．
冪関数
$z,\ \alpha\in\mathbf{C}$ とするとき，「$z$ の $\alpha$ 乗」は
$z^\alpha\stackrel{\mathrm{def}}{=}e^{\alpha\log_{\mathbf{C}}{z}}
=\exp(\,\alpha\log_{\mathbf{C}}{z}\,)$
により定義される．
複素関数としての
冪関数は，$\alpha\in\mathbf{C}$ を定数として， $z\in\mathbf{C}\backslash\{0\}$ に $z^\alpha$ を対応させる関数である．
複素対数関数を用いて定義しているので，$\alpha \notin\mathbf{Z}$ のときはこれも多価関数となる．
また，$\alpha\notin\mathbf{N}$ のとき $0^\alpha$ は通常定義されない．
もう少し簡単に
$(re^{i\theta})^\alpha=r^{\alpha}e^{i\alpha\theta}$
と計算してもよいが，その際，正の実数 $r$ の偏角は $0$ として扱わなければならないことに注意しよう
詳しく！．
例えば，$2^i$ を考えてみよう．極形式では $2=2e^{2n\pi i}\ (n\in\mathbf{Z})$ だから
$2^i=(2e^{2n\pi i})^i=2^ie^{-2n\pi}\ (n\in\mathbf{Z})$
とすると，何をやっているのかよくわからない計算になってしまう．
定義に戻ってもう一度やってみると，$\log_{\mathbf{C}}2=\log2+2n\pi i$ より
$2^i=e^{i(\log2+2n\pi i)}\\[1mm]
\hspace{8pt}=e^{i\log2-2n\pi }\\[1mm]
\hspace{8pt}=e^{-2n\pi}(\cos\log2+i\sin\log2)\quad (n\in\mathbf{Z})$
となり，これなら不審なところはない．
複素指数関数は $e^{x+iy}=e^x(\cos{y}+i\sin{y})$ で定義されていたことを思い出そう．
頭が痛くなってくるような話だが，
このような計算で混乱しがちな原因は，複素対数関数 $\log_{\mathbf{C}}{z}$，あるいは複素数の非整数冪 $z^\alpha\ (\alpha\notin\mathbf{Z})$ というものが
$z$ の偏角を指定しないと値が一つに定まらない
ということにある．
はじめに見た
$2^i=2^ie^{-2n\pi}\ (n\in\mathbf{Z})$
において，左辺の $2$ は偏角が指定されておらず(だから $2n\pi $ とおいた)，
しかし右辺にある $2$ は $2=2e^{2n\pi i}$ とおいたときの右辺に現れた $2$ であるから，その時点で，こちらの $2$ は偏角 $0$ と(暗黙のうちに)指定されているのである．
偏角 $0$ という指定のもとでは $\log_{\mathbf{C}}{2}=\log2$ であるから
$2^i=e^{i\log2}=\cos\log2+i\sin\log2$
となり，上で見た二通りの計算は一致することになる．
改めて
$(re^{i\theta})^\alpha
=r^{\alpha}e^{i\alpha\theta}
$
というのは $\alpha$ が整数でない場合でも正しい計算だが，
この場合の $r$ の偏角は $0$ と暗黙に指定されており，従って $r^\alpha$ の値は一意に定まるという前提を見失わないようにしよう．
$2i=2e^{\frac{\pi}{2}i}$ と表すと
$(2i)^{1/2}
=e^{(1/2)(\log2+(\pi/2)i)}\\[1mm]
\hspace{23pt}=e^{\log\sqrt{2}+(\pi/4)i}\\[1mm]
\hspace{23pt}=\sqrt{2}e^{(\pi/4)i}
=1+i$
$2i=2e^{\frac{5}{2}\pi i}$ と表すと
$(2i)^{1/2}
=e^{(1/2)(\log2+(5\pi/2)i)}\\[1mm]
\hspace{23pt}=e^{\log\sqrt{2}+(\pi/4)i}\\[1mm]
\hspace{23pt}=\sqrt{2}e^{(5\pi/4)i}
=-1-i$
となる．偏角を指定しなければ $2i=2e^{(\pi/2+2n\pi)i}\ (n\in\mathbf{Z})$ より
$(2i)^{1/2}
=e^{(1/2)\{\log2+(\pi/2+2n\pi)i\}}\\[1mm]
\hspace{23pt}=e^{\log\sqrt{2}+(\pi/4+n\pi)i\}}\\[1mm]
\hspace{23pt}=\sqrt{2}e^{(\pi/4)i+n\pi}
=\pm(1+i)$
となる．このように，$z^{1/2}$ は
一つの複素数に対して$2$個の値を返す．
今の計算を
$(2i)^{1/2}
=2^{1/2}(e^{(\pi/2+2n\pi)i})^{1/2}\\[1mm]
\hspace{26pt}=\sqrt{2}e^{(\pi/4+n\pi)i}\\[1mm]
\hspace{26pt}=\pm\sqrt{2}e^{(\pi/4)i}$
としても悪くはないが，$2^{1/2}=\sqrt{2}$ の部分は $2$ の偏角を $0$ として計算していることを見失わないようにしよう．
指数法則
$\begin{array}{l}
z^{\alpha}z^{\beta}=z^{\alpha+\beta}\\[1mm]
(z^{\alpha})^{\beta}=z^{\alpha\beta}\end{array} \quad(\alpha,\beta\in\mathbf{C})$
は $z$ の
偏角を指定するごとに成り立つ．
$(-1)^{1/2}(-1)^{3/2}=(-1)^2$
という等式は，ここに現れている三つの $-1$ の偏角をすべて同じとする前提で成り立つ．例えば，$-1=e^{\pi i}$ ととるのであれば
$(e^{\pi i})^{1/2}(e^{\pi i})^{3/2}
=e^{(\pi/2)i}e^{(3\pi/2) i}
=i\cdot(-i)=1$
$(e^{\pi i})^{2}=e^{2\pi i}=1$
となり，確かに両辺は一致する．
しかし，$-1=e^{\pi i}=e^{-\pi i}$ だからといって
$(e^{\pi i})^{1/2}(e^{-\pi i})^{3/2}=(e^{\pi i})^2$
は成り立たない．
実際，この左辺は
$(e^{\pi i})^{1/2}(e^{-\pi i})^{3/2}
=e^{(\pi/2) i}e^{(-3\pi/2) i}
=i\cdot i=-1$
となってしまう．
また
$\{(-1)^2\}^{1/2}=-1$
という等式は，例えば $-1= e^{\pi i}$ と指定するとき
$\{(e^{\pi i})^2\}^{1/2}=e^{\pi i}$
という意味で成り立つ．
$(-1)^2=1=e^{4\pi i}$ と表せるからといって，左辺を
$\{(-1)^2\}^{1/2}=(e^{4\pi i})^{1/2}=e^{2\pi i}= 1$
とするのは間違った計算とは言えないが，
このように途中で偏角を取り直すようなことをすると指数法則は破綻してしまう．
対数関数・冪関数の微分
Cauchy-Riemannの関係式
$\left\{\begin{array}{l}u_x=v_y\\u_y=-v_x\end{array}\right.$
は，極座標表示 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$ では
$\left\{\begin{array}{l}ru_r=v_\theta\\u_\theta=-rv_r\end{array}\right.$
と表される
詳しく！．
$\dfrac{\partial x}{\partial r}=\cos\theta=\dfrac{x}{r}$，
$\dfrac{\partial x}{\partial \theta}=-r\sin\theta=-y$
$\dfrac{\partial y}{\partial r}=\sin\theta=\dfrac{y}{r}$，
$\dfrac{\partial y}{\partial \theta}=r\cos\theta=x$
より
$r\dfrac{\partial u}{\partial r}
=r\dfrac{\partial x}{\partial r}\dfrac{\partial u}{\partial x}
+r\dfrac{\partial y}{\partial r}\dfrac{\partial u}{\partial y}
=x\dfrac{\partial u}{\partial x}
+y\dfrac{\partial u}{\partial y}$
$\dfrac{\partial u}{\partial \theta}
=\dfrac{\partial x}{\partial \theta}\dfrac{\partial u}{\partial x}
+\dfrac{\partial y}{\partial \theta}\dfrac{\partial u}{\partial y}
=-y\dfrac{\partial u}{\partial x}
+x\dfrac{\partial u}{\partial y}$
$r\dfrac{\partial v}{\partial r}
=r\dfrac{\partial x}{\partial r}\dfrac{\partial v}{\partial x}
+r\dfrac{\partial y}{\partial r}\dfrac{\partial v}{\partial y}
=x\dfrac{\partial v}{\partial x}
+y\dfrac{\partial v}{\partial y}$
$\dfrac{\partial v}{\partial \theta}
=\dfrac{\partial x}{\partial \theta}\dfrac{\partial v}{\partial x}
+\dfrac{\partial y}{\partial \theta}\dfrac{\partial v}{\partial y}
=-y\dfrac{\partial v}{\partial x}
+x\dfrac{\partial v}{\partial y}$
となるから，これらを比較することにより
$\left\{\begin{array}{l}u_x=v_y\\u_y=-v_x\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}ru_r=v_\theta\\u_\theta=-rv_r\end{array}\right.$
であることがわかる．
この極座標表示を利用することで，複素関数としての対数関数および冪関数は $\mathbf{C}\backslash\{0\}$ で正則で
$\dfrac{d}{dz}\log_{\mathbf{C}}z=\dfrac{1}{z}$
$\dfrac{d}{dz}z^\alpha=\alpha z^{\alpha-1}$
が成り立つことがわかる
詳しく！．
$\log_{\mathbf{C}}(re^{i\theta})=\log{r}+i\theta$
が極座標表示されたCauchy-Riemmanの関係式を満たすことは直ちにわかる．
よって微分可能性が保証されるので，例えば $\theta$ を固定して
$\displaystyle
\lim_{\Delta z\to 0}\dfrac{\log_{\mathbf{C}}(z+\Delta z)-\log_{\mathbf{C}}z}{\Delta{z}}\\[1mm]
\hspace{20pt}=\lim_{\Delta r\to 0}\dfrac{\log_{\mathbf{C}}\{(r+\Delta r)e^{i\theta})\}-\log_{\mathbf{C}}(re^{i\theta})}{(\Delta{r})e^{i\theta}}\\[1mm]
\hspace{20pt}=\lim_{\Delta r\to 0}\dfrac{\{\log(r+\Delta r)+i\theta\}-(\log{r}+i\theta)}{(\Delta{r})e^{i\theta}}\\[1mm]
\hspace{20pt}=\lim_{\Delta r\to 0}\dfrac{\log(r+\Delta r)-\log{r}}{\Delta{r}}\dfrac{1}{e^{i\theta}}\\[1mm]
\hspace{20pt}=\dfrac{1}{r}\cdot\dfrac{1}{e^{i\theta}}=\dfrac{1}{z}$
と計算してよい．これより $\dfrac{d}{dz}\log_{\mathbf{C}}z=\dfrac{1}{z}$ が得られた．また，合成関数の微分法により
$\dfrac{d}{dz}z^\alpha=\dfrac{d}{dz}e^{\alpha\log_{\mathbf{C}}z}
=\dfrac{\alpha}{z}e^{\alpha\log_{\mathbf{C}}z}
=\dfrac{\alpha}{z}z^{\alpha}
=\alpha z^{\alpha-1}$
も得られる．
実関数と全く同様の表式なのであまり意識されないかもしれないが，
$\dfrac{d}{dz}\log_{\mathbf{C}}z=\dfrac{1}{z}$
ということは，$\log_{\mathbf{C}}z$ が多価関数であるにも関わらずその導関数は一価関数であるという，かなり特殊なことが起こっている．
微分は各点ごとに行われる計算であるから，$\log_{\mathbf{C}}z$ の微分を実行するときは $z$ の偏角をその都度指定しなければならないはずである．
しかし，結局得られる計算結果は偏角のとりかたによらないという，不思議といえば不思議な，複素対数関数に特有の現象と言ってよい．
対数関数・冪関数の積分
前講で見たように，複素関数 $f$ がある領域 $D$ で正則な関数$F$によって
$f(z)=F'(z)\quad(z\in D)$
と表されるとき，$D$ 内で点 $a$ から点 $b$ に到る任意の曲線 $C$ に対して
$\displaystyle \int_Cf(z)dz=F(b)-F(a)$
が成り立つ．
すなわち，この場合は積分の値は始点と終点における原始関数の値のみによって決まることになるが，その原始関数が上で見た対数関数や冪関数の場合は，始点と終点の偏角のとり方がまたしても問題になる．
$\dfrac{d}{dz}\log_{\mathbf{C}}z=\dfrac{1}{z}$ より，例えば
$\displaystyle \int_1^{-1}\dfrac{1}{z}dz
=\log_{\mathbf{C}}z\Big|_1^{-1}
=\log_{\mathbf{C}}(-1)-\log_{\mathbf{C}}1$
であるが，(積分経路は指定する必要はなくとも)始点 $1$ と終点 $-1$ の偏角を指定しなければこの積分の値は定まらない．
例えば $1=e^{0i}$，$-1=e^{\pi i}$ とすれば
$\displaystyle \int_1^{-1}\dfrac{1}{z}dz
=\pi i-0=\pi i$
であるし，$1=e^{2\pi i}$，$-1=e^{\pi i}$ とすれば
$\displaystyle \int_1^{-1}\dfrac{1}{z}dz
=\pi i-2\pi i=-\pi i$
である．
あるいは単位円周を $C=\{\,e^{i\theta}\ |\ 0\le \theta \le 2\pi \,\}$ として
周回積分を考えると
$\displaystyle \oint_C\dfrac{1}{z}dz
=\log_{\mathbf{C}}z\Big|_{e^{0i}}^{e^{2\pi i}}=2\pi i-0=2\pi i$
と，前講で見た結果が得られる．
$1/z$ が原始関数を持つにも関わらず周回積分の値が $0$ とならないのは，複素対数関数の多価性が関係していたのである．
分枝と分岐線・分岐点
複素関数としての対数関数および冪関数は多価関数であるが，定義域（偏角の範囲）を制限することにより一価関数と考えることができる．
多価関数は，そのような一価関数の集まりと見ることができるが，そのときの一つ一つの一価関数をその多価関数の
分枝と呼び，各定義域の境界を
分岐線，分岐線の端点を
分岐点と呼ぶ．
複素対数関数の定義域を $D$ に制限したものを $\underset{D}{\log}{z}$ と書くことにする(煩雑になるのでここでは $_\mathbf{C}$ は書かない)と
$\log{z}=\Big\{\,\underset{D_n}{\log}z\,\Big\}_{n\in\mathbf{Z}}$
$D_n=\{\,z\,|\,2n\pi\le\arg{z} < 2(n+1)\pi\,\}$
と，$\log{z}$ を無限個の一価関数の集まりと見なすことができる．このとき，各 $\underset{D_n}{\log}z$ が $\log{z}$ の分枝である．
また，この場合の分岐線は $\{\,z\,|\,\arg{z}=2n\pi,\ n\in\mathbf{Z}\,\}$，すなわち実軸の正の部分 $\{\,x+yi\,|\,x>0,\ y=0\,\}$ であり，分岐点はその端点 $z=0$ である．
もしこの設定のもとで積分
$\displaystyle \int_1^{-1}\underset{D_0}{\log}zdz$
を考えるとすると，積分路は
$D_0=\{\,z\,|\,0\le\arg{z} < 2\pi\,\}$ の中にとらなければならないので，
始点は $1=e^{0i}$，終点は $-1=e^{\pi i}$ として計算することになる．