第3講 初等関数(1)
指数関数
Eulerの公式
$e^{\theta i}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\cos\theta+i\sin\theta\quad(\theta\in\mathbf{R})$
を思い出そう．これを踏まえると，
複素関数としての指数関数は次のように定義されるべきであろう：
$e^{x+yi}\stackrel{\mathrm{def}}{=}e^xe^{yi}=e^x(\cos{y}+i\sin{y})
\quad(x,y\in\mathbf{R})$
ここで，$e^x$ は実関数としての指数関数である．
$\exp(x+yi)$ という表記ももちろん同じ意味で用いられる．
実三角関数の性質から
$e^{i\theta}e^{i\varphi}=e^{(\theta+\varphi)i}$，
$(e^{i\theta})^{-1}=e^{-\theta i}$ $(\theta,\varphi\in\mathbf{R})$
が確かめられるのであった．このことから
$e^ze^w=e^{z+w}$，
$(e^z)^n=e^{nz}$ $(z,w\in\mathbf{C},\ n\in\mathbf{Z})$
が成り立つことが容易にわかる．ただし
$(e^z)^w=e^{zw}$ $(z,w\in\mathbf{C})$
が成り立つかどうかは，今の時点では明らかではない．
なぜなら，複素数 $e^z$ の「複素数乗」なるものはまだ定義していないからである．
例えば，次の計算は正しいと言えるだろうか：
$(e^{2\pi i})^{1/2}=e^{\pi i}=-1$
$e^{2\pi i}=1$ で，$1^{1/2}=1$ のはずだから，整合性がとれていないようである．
このことは実際かなり慎重に取り扱うべき問題なので，講を改めて触れることにする．
$\exp{z}=0$ を満たす複素数 $z$ は存在するか？
存在しない．
実際，$e^{x+yi}=e^xe^{yi}=0$ とすると，
任意の実数 $x$ に対して，$e^x > 0$ だから $e^{yi}=0$
しかし，$e^{yi}$ は絶対値 $1$ の複素数であったからこれは不可能である．
三角関数
再びEulerの公式より，実数 $\theta$ に対して
$\cos{\theta}=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$，
$\sin{\theta}=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$
が成り立つことがわかる
詳しく!
$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$
$e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta$
より
$e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta$
$e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta$
が得られる．
から，これを踏まえて複素関数としての三角関数を
$\cos{z}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$
$\sin{z}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$
$\tan{z}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\dfrac{\sin{z}}{\cos{z}}\qquad\qquad(z\in\mathbf{C})$
により定義する．
この定義と指数関数の性質から，やはり実関数と同様の次の性質
$\cos^2z+\sin^2z=1$
$\cos(-z)=\cos{z}$
$\sin(-z)=-\sin{z}$
$\tan(-z)=-\tan{z}\qquad\qquad(z\in\mathbf{C})$
が成り立つ．さらに，加法定理
$\cos(z+w)=\cos{z}\cos{w}-\sin{z}\sin{w}$
$\sin(z+w)=\sin{z}\cos{w}+\cos{z}\sin{w}$
$\tan(z+w)=\dfrac{\tan{z}+\tan{w}}{1-\tan{z}\tan{w}}\qquad\quad(z,w\in\mathbf{C})$
も成り立つ．これらを確かめることは練習問題としよう．
$\mathrm{(1)}$ $\cos{z}=0$ となる $z\in\mathbf{C}$ をすべて求めよ．
$\mathrm{(2)}$ $\sin{z}=0$ となる $z\in\mathbf{C}$ をすべて求めよ．
$\mathrm{(3)}$ $\tan{z}$ の定義域を決定せよ．
| $\mathrm{(1)}$ |
$\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=0\Leftrightarrow e^{iz}=-e^{-iz}\Leftrightarrow e^{2iz}=-1$
より，$2iz=(2n+1)\pi i$ すなわち
$z=\Big(\dfrac{\pi}{2}+n\pi\Big)$ $(n\in\mathbf{Z})$
これらはすべて実軸上の点である．
|
| $\mathrm{(2)}$ |
$\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=0\Leftrightarrow e^{iz}=e^{-iz}\Leftrightarrow e^{2iz}=1$
より，$2iz=2n\pi i$ すなわち
$z=n\pi$ $(n\in\mathbf{Z})$
これらもすべて実軸上の点である．
|
| $\mathrm{(3)}$ |
$\mathrm{(1)}$ により $\mathbf{C}\backslash\{\,\pi/2+n\pi\,|\,n\in\mathbf{Z}\,\}$．
|
双曲線関数
複素関数としての双曲線関数も，実関数の場合の定義を踏まえて
$\cosh{z}=\dfrac{e^{z}+e^{-z}}{2}$
$\sinh{z}=\dfrac{e^{z}-e^{-z}}{2}$
$\tanh{z}=\dfrac{\sinh{z}}{\cosh{z}}
\qquad\qquad(z\in\mathbf{C})$
により定義する．
次の性質
$\cosh^2z-\sinh^2z=1$
$\cosh(-z)=\cosh{z}$
$\sinh(-z)=-\sinh{z}$
$\tanh(-z)=-\tanh{z}\qquad\qquad(z\in\mathbf{C})$
が成り立ち，さらに，加法定理
$\cosh(z+w)=\cosh{z}\cosh{w}+\sinh{z}\sinh{w}$
$\sinh(z+w)=\sinh{z}\cosh{w}+\cosh{z}\sinh{w}$
$\tanh(z+w)=\dfrac{\tanh{z}+\tanh{w}}{1+\tanh{z}\tanh{w}}\\\hspace{150pt}(z,w\in\mathbf{C})$
も成り立つことは，もはや明らかと言ってもよいだろう．
$\cos(iz)$，$\sin(iz)$ ($z\in\mathbf{C}$)と等しいものをそれぞれ選べ．
| $\cosh{z}$ |
$-\cosh{z}$ |
$\sinh{z}$ |
$-\sinh{z}$ |
| $i\cosh{z}$ |
$-i\cosh{z}$ |
$i\sinh{z}$ |
$-i\sinh{z}$ |
$\cos(iz)=\cosh{z}$，$\sin(iz)=i\sinh{z}$．